苏教版（2019）必修第二册 第12章 复数 知识点+典型例题+自我训练 讲义-2023届江苏省南京市秦淮中学高考零轮复习

第12章 复数 模块一：自主学习 回归教材 知识清单 知识点一　复数的概念及代数表示 (1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b＝0　，则a＋bi为实数，若b≠0则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0则a＋bi为纯虚数. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). (3)共轭复数： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与＝a－bi互为共轭复数(1)若，则z为实数；(2)＝a2＋b2. (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数 (5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作)|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ 知识点二：复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i　 ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d) i ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i　 ④除法：＝＝＝＋ i　_(c＋di≠0). 知识点三：复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有(1)zmzn＝zm＋n.(2)(zm)n＝zmn.(3)(z1z2)n＝zz. 2．虚数单位i的乘方：in(n∈N*)的周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 提示：(1)复数范围内正整数指数幂的运算律与实数范围内正整数指数幂的运算律是一致的． (2)由i的正整数指数幂的含义易知，对于4个连续的正整数a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0. 自我体验 1.已知复数是纯虚数，则 【答案】 【解析】由题知， 2. ； 【答案】 【解析】 3. ； 【答案】 【解析】 4.复数z＝＋i的共轭复数为________． 【答案】－　 5.已知复数，复数满足，则 【答案】 【解析】， 6.＝________. 【答案】 7．－＝________. 【答案】 8.＝________. 【答案】 9．＝________. 【答案】0 10.计算：＝______________ 【答案】 【解析】 11.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由题知：， 12.已知，则 ； 【答案】 【解析】设，则，， 模块二：要点导学 各个击破 典例评析 例1：已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， (1)z∈R； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数； (4)＝＋4i. 【解析】(1)由z∈R，得解得m＝－3 (2)由z是虚数，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. (3)由z是纯虚数，得解得m＝0或m＝－2. (4)由＝＋4i，得－(m2＋2m－3)i＝＋4i，∴ 即解得m＝－1. 点评：本题为复数的概念问题。解题中要注意各种数集的含义，以及复数相等的意义。 例2：当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数． 【解析】(1)当即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． (3)当即m＝5时，z是实数． 延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解　因为z>0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 例3.已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2. 【解析】z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R， ∵|z2|＝5，∴|z2(5＋5i)|＝50，∴z2(5＋5i)＝±50，∴z2＝±＝±＝±(5－5i)。 另解：设， z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋