专题02 不等式的性质（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第2讲 不等式的性质及其解法 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法. 2.不等式的性质 (1)不等式的性质 ①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； ②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； ③传递性：a>b，b>c⇒a>c； ④对称性：a>b⇔b<a. (2)不等式的推论 ①移项法则：a＋b>c⇔a>c－b； ②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； ③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； ④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)； ⑤可开方性：a>b>0⇒>. 3.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 4.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). 6.分式不等式及其解法 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2、 考点和典型例题 1、 不等式的性质 【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知，且，则以下不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，，，故A，B正确； ，即，故C正确； 对两边同除得，故D错误. 故选：D. 【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A：当，时不成立，故A错误； 对于B：当，，所以，，即，故C错误； 对于C：当时不成立，故C错误； 对于D：因为，所以，又， 所以（等号成立的条件是），故D正确. 故选：D. 【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】 对于A，由 ，   ，当且仅当 时等号成立， ，   ， ， 当且仅当 时等号成立，故A正确； 对于B，由，得 ， 由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；故B正确； 对于C，若 满足， ，故C错误； 对于D，∵，∴ ，由B的结论得   ， ， ，故D正确； 故选：ABD. 【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 【答案】BCD 【详解】 解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0， 所以， 所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，， 故选：BCD 【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 因为，，所以，的符号不能确定， 当时，，故A错误， 因为，，所以，故B正确， 因为，所以，故C正确， 因为，所以，所以，所以，故D错误， 故选：BC 2、 不等式的解法 【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知 (1)求集合A和B； (2)求A∪B，A∩B， 【答案】(1)； (2)； 【解析】 (1) 解：解