2021-2022学年必修二素养提升专题九 外心问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题 解三角形 外心问题（解析版） 考点一 三角形外心的判断 【范例1】．（2022四川宜宾高一检测）是内一点，且，则是的　　 A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】C 【解析】：是内一点，且，可知到顶点，，距离相等，所以是的外心．故选：． 【范例2】．（2022全国·高一专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（       ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点为， 因为，所以， 即，两端同时点乘， 所以 ，所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 【范例3】．（2022云南曲靖高一期中）是所在平面上一点，若，则是的（       ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】由得：，即，则有，由，同理可得，因此，， 所以是的外心 故选：B 考点二 外心的应用 【范例1】．（2022·江苏镇江大港中学高一阶段练习）若的外接圆圆心为，半径为1，，则　　 A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】：由题意，可得， 又的外接圆的圆心为，半径为1， 故， 由向量加法的平行四边形法则知， 此时，两向量的和向量与两向量的夹角都是，即 ．故选：． 【范例2】．（2022·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）已知O为锐角三角形的外心，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设锐角三角形的外接圆的半径为，即， ， ，显然是锐角， 因为O为锐角三角形的外心，所以O在锐角三角形内部， 由圆的性质可知：，显然是锐角， ，或舍去，故选：A 【范例3】．（2022·上海中学高一期中）O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆半径， 根据垂径定理可得，，， 所以由正弦定理且为锐角三角形可得： ，故选：D 【范例4】．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，则实数m的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设三角形的外接圆半径为，因为O是三角形ABC的外心，故可得， 且，， 故， 即，也即，则， 又，由正弦定理可得：，则， 故， 当且仅当，即时取得最大值. 故选：A. 【范例5】．（2022山西太原高三阶段练习（理））在中，角，，所对的边分别为，，，， （1）求证：；（2）若，的外接圆面积为，求的周长． 【答案】(1)见证明；(2) . 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴，∴. ∴在中，， （2）设的外接圆半径为，由已知得，∴， ∵，，∴， ∴，∵，∴， 由得，解得， ∴，∴的周长为. 【素养提升体验】 1．（2022·全国·高一专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（       ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 2．已知是所在平面外一点，是点在平面内的射影．若到的三个顶点的距离相等，则是的　　 A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】：是所在平面外一点，是点在平面上的射影． 到三个顶点的距离相等， 由射影定理得，由三角形外心的定义得是三角形的外心． 故选：． 3．（2022·全国·高一专题练习）在中，，，，点D是的外心，E是AC的中点，则＋＝（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：因为点D是的外心，且， 所以点D是的斜边AB的中点，所以. 又E是AC的中点，所以， 所以. 故选：D. 4．（202陕西咸阳二模（理））已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：根据题意，设的中点为， 若，则为的重心，则， 若，则，所以，，，四点共线，故，则，不妨令，则，．所以． 故选：． 5．（2021宁夏银川二模（理））在中，，，点满足，点为的外心，则的值为　　 A．17 B．10 C． D． 【答案】D 【解析】：过作，垂足分别为， 则，分别是，的中 ， 所以， ，，． 故选：． 6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，，，，为的外心，则（       ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，， 又为的外心，是的中点， 故选：D 7．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）在中，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________． 【答案】 【解析】由，可得， 即， 因为，所以，即，即， 又由，可得， 将代入，可得， 由