2021-2022学年必修二素养提升专题七 解三角形 重心问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题六 解三角形 重心问题（原卷版） 考点一：重心的向量形式 重心的向量表示： 若G是△ABC重心，则 若G是△ABC重心，为的中点，则 【范例1】．（2022·陕西汉中·高一期中）在△ABC中，边AB的中点为D，若O为△ABC的重心，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：由题意得. 故选：D 【范例2】．（2022银川二中高一期中）已知的重心为，内角，，的对边分别为，，，若，则角为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：的重心为， ，即， ， ， ，，即，， ，则．故选：． 【范例3】．（2022·上海交大附中高一阶段练习）设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为，所以，记BC中点为D，则，因为，所以点P的轨迹为射线AD，所以P的轨迹一定通过的重心. 故选：C 【范例4】．（2022·陕西宝鸡高一期中）已知的重心为，，，其中，，且，，共线，则　3　． 【答案】D 【解析】：解：延长交于，则为的中点， ， 因为，，共线， 所以．即．故答案为：3． 【范例5】．（2022·重庆市南坪中学校高一阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（       ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为G为重心，所以，所以有，因为三点共线，所以，即，即， 所以，当且仅当，即时取得等号，所以最小值为4. 故选：C 考点二：重心定理 重心定理：若是三角形的重心，是的中点，则 【范例1】．（2022四川绵阳高一期中）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】：如图所示： 连接，并延长交于， 由是三角形的重心，得是的中点， ，， 由重心的性质得，即， 由余弦定理得：， ， ，， ， 则， ，，，为锐角， 是钝角三角形，或为钝角， 或， 将代入得：，，， ．故选：． 【范例2】．．已知为的重心，点，分别在边，上，满足，其中，若，则和的面积之比为　　． 【答案】． 【解析】：设的中点为，则， 又，即， ， ，又，， ，即， ． 故答案为：． 【范例3】．（2022·全国·高一专题练习）设为的重心，若，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】设中点为， ，，，， ， ， ； ， 又，，， .故答案为：. 考点三：重心的坐标形式 设G为的重心，若A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)G(x,y)， 则 【范例1】．（2021·重庆八中高一检测）已知向量，，，的重心为，则与的夹角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：根据题意，设的坐标为，与的夹角为， 向量，，， 则，，， 又由的重心为，则，故的坐标为； 则，， 则；故选：． 【范例2】．（2022·河南洛阳·高一期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题： (1)G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交于点． （i）记，请用表示； （ii），求的最小值． (2)已知点O是的________，且，求． 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)解：（i）设，由重心的坐标公式得， 且， 可得 ， . （ii）因为，其中，所以， 则， 根据平面向量的共线定理，可得，其中， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． (2)解：①如图所示，当O是的外心时，取的中点分别为和， 因为， 可得， ， 由O是的外心， 可得，可得，即， ，可得，即， 所以，即，所以， 则，即. 若选②：如图所示，即O是的垂心 因为， 可得， ， 由O是的垂心， 则，可得，即， ，可得，即， 联立方程组，可得，即，所以， 所以，即. 【素养提升体验】 1．（2022·全国·高一专题练习）点是的重心，是的中点，则等于（       ） A． B． C． D． 2．（2021江苏无锡高一检测）设是的重心，，，分别是角，，的对边，若，则角