2021-2022学年必修二素养提升专题六 解三角形 中线问题

2021-2022学年必修二素养提升检测（湘教版） 专题六 解三角形 中线问题（解析版） 方法一：利用正余弦定理求解 方法依据： 余弦定理： 正弦定理： ＝＝＝2R 【范例1】．（2021银川一中高三开学考试）已知在中，，边上的中线长为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：在中，由正弦定理可得：， ，，，① 又， 在三角形中，由余弦定理得，②， 由①②联立解得，， 的面积为：．故选：． 【范例2】．在中，角，，的对边分别为，，，且 ．． （1）求角，，的大小； （2）若边上的中线的长为，求的面积． 【解答】解：（1）， ，，， ．， 化为，， ，，，， ，．． （2）如图所示，设，则． 在中，由余弦定理可得：， ，化为，解得． ． 方法二：利用向量关系式求解 方法依据：如图在中，为的中点， 【范例1】．（2021四川巴中模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则面积的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：因为， 由正弦定理可得，，即， 由余弦定理可得，，， 因为为的中点，所以， 故， ，当且仅当时取等号， ，即面积的最大值． 【范例2】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，求的中线的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）在中，由正弦定理化为，即， 由余弦定理得，而，则，所以； （2）因是的中线，则，由(1)知， 于是得， 当且仅当b=c时取“=”，则，所以的中线的最小值为. 方法三：利用互补关系求解 如图在中，M为的中点,则 【范例1】．（2021·云南红河中学模拟）在中，，，，的面积等于，则　　，边上中线的长为　　． 【答案】；． 【解析】:①由题可知：则， 由余弦定理可得：，即，所以； 又 故，． 所以，则； ②由题可知：，且， 则， 即 所以， 则．故答案为：；． 【范例2】（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（理））在中，，，边上的中线的长度为，则（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设， 由为边上的中线，则 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 因为，可得，即 在中，由余弦定理得 代入可得，解得或（舍），即 故选：A 【范例3】．（2022·山东滨州·高三期末）在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 【答案】24 【解析】设，， 由于， 在和中应用余弦定理可得： ，整理可得：， 结合勾股定理可得的面积： ，当且仅当时等号成立． 则面积的最大值为24．故答案为：24. 【素养提升体验】 1．（2022·四川省岳池中学高一阶段练习）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，作图如下： 在△和△中由余弦定理得： . ， 又， 两式相加得， 即. 即三角形的中线长为.故选：. 2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（       ） A．49 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】因为，故可得， 根据余弦定理可得，故， 不妨取中点为，故， 故. 即边上的中线长为. 故选：. 3．（2022·河北·高一阶段练习）记的内角的对边分别为，已知，为边上的中线，的角平分线交于点. (1)若，求的值；(2)若，求面积的最小值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)在中，，， 由余弦定理， 得，解得或（舍去）， 由题意得， 两边平方得 ，所以，即的值为， (2)因为， 所以.因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，故△ABC面积的最小值为. 4.（2022·江苏镇江大港中学高一期中）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答. 问题：设内角所对的边分别为，且___. (1)求A；(2)若，边的中线，求的面积. 【答案】(1)；(2)6. 【解析】(1)选①，由正弦定理及得：， 而，即，则，又，有，解得， 所以. 选②，由正弦定理及得：， 因，即，则，即，而，解得， 所以. (2)由正弦定理及得：，即，又边的中线， 由得：， 解得，则， 所以的面积为6. 5．（2022·北京·清华附中高一阶段练习）设的内角，，所对的边长分别为，，，向量，，且． (1)求角的大小；(2)若角，边上的中线的长为，求的面积． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为，，且， 所以， 由正弦定理得， 得，因为，且， 所以，因为，所以. (2)因为，所以，，， 在三角形中，由余弦定理得 即，即，所以， 所以的面积为. 6．（2022·黑龙