第七章 随机变量及其分布 专题05 数学期望中的最值问题-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第7章 随机变量及其分布 专题05 数学期望中的最值问题 数学期望的最值问题是数学期望的特殊且重要的问题，也是解决数学期望的基础。主要与函数、不等式等知识相联系，因此在解答时要善于把有关期望的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行解答。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 数学期望的最值问题 例1：（2022·全国·高二）设随机变量的分布列为： 0 1 2 P 则的数学期望的最小值是(       ) A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化 【答案】A 【解析】由分布列的性质得，解得， ， ∴的最小值为. 故选：A. 【变式1】（2022·湖南·高二）若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则的最大值为（       ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题分布列的性质，可得且，解得， 又由， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式2】（2021·全国·高二）设随机变量ξ的概率分布列为： ξ 0 1 2 P 1－ 则ξ的数学期望的最小值是________． 【答案】 【解析】， 又因为，，所以． 所以当时，E(ξ)的值最小，． 故答案为： 【变式3】（2022·全国·高二）某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表： 气温/℃ 天数 4 14 36 21 15 以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率． (1)求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值； (2)设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2)Y的均值的最大值为11900，此时 【解析】(1)X的可能取值为2000，3500，5000． ，，． 故X的分布列为 X 2000 3500 5000 P 0.2 0.4 0.4 ． (2)由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件． 当时， 若气温不低于30℃，则； 若气温在内，则； 若气温低于25℃，则． ． 当时，取得最大值11900． 故Y的均值的最大值为11900，此时． 【痛点直击】求数学期望的最值问题，应根据期望公式表示出期望，得到期望关于参数的目标函数，然后利用函数思想求最值，其中，要特别关注参数的取值范围。 类型二 以数学期望为基础的最值问题 例2.（2021·江西·高二）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，分的概率为，不得分的概率为，已知该运动员投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：，即,，，， ， 当且仅当时取等号, 故选：． 【变式1】（2022·全国·高二）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）： 每天前8小时的销售量 15 16 17 18 19 20 21 频数 10 x 15 16 16 13 y 若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为，购进18份有机蔬菜时利润为， 则的分布列如下表所示： 65 75 85 P 所以. 的分布列如下表所示： 60 70 80 90 P 所以. 由题意知，，即，解得， 又且，则且，即x的取值集合是. 故选：B. 【变式2