4.2.1 随机变量及其与事件的联系(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到正品的件数　　 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 解析　B，D都是定值，不是随机变量，A，C中的正品和次品的次数都是随机的可以取0，1，2，3，因此选AC. 答案　AC 2．(多选题)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件可能是(　　) A．一枚是3点，一枚是1点 B．两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．一枚是4点，一枚是1点 解析　ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点． 答案　AB 3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 解析　X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．故选C. 答案　C 4．(多选题)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A．从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号码 B．一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C．某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D．从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 解析　对于A，被取出的卡片的号码是1，2，3，…，10，共有10个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于B，从10个球中任取3个球，所含白球的个数有0，1，2，3，共有4个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；对于C，所选树木的高度是随机变化的，它可以取(0，30]内的任意一个值，但无法一一列出，不是离散型随机变量；对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量．故选CD. 答案　CD 5．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________． 解析　X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个． 答案　9 6．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是________． 解析　由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中，第4次击中目标． 答案　前3次未击中，第4次击中目标 7．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种． 解析　后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24(种). 答案　24 8．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X； (3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数Y. 解析　(1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出编号为k号的球． (2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0，1，2，3，4. (3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点， X的可能取值为2，3，4，…，12， 则X＝2表示(1，1)； X＝3表示(1，2)，(2，1)； X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … X＝12表示(6，6). Y的可能取值为2，4，6，8，10，12. Y＝2表示(1，1)； Y＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … Y＝12表示(6，6). [关键能力·综合提升] 9．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 解析　击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．故选C. 答案　C 10．袋中有10个红球，5个黑球，每次随机抽取1个球，若取得黑球，则另外换1个红球放入袋中，直到取到红球为止．若记抽取的次数为X，则表示“放入5个红球”的事件为(　　) A．X＝7 B．X＝6 C．X＝5 D．X＝4 解析　若第一次取到黑球，则放入1个红球，第二次取到黑球，则再放入1个红球，……，共放入了5个红球，说明第六次取到了红球．故选B. 答案　B 11．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，用ξ表示取到白球的个数，则ξ的取值范围是________；P(ξ＝1)＝________． 解析　从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，ξ的取值可以是0，1，2，所以ξ的取值范围是{0，1，2}． 基本事件总数n＝C＝10， 用ξ表示取到白球的个数，ξ＝1包含的基本事件个数m＝CC＝6， ∴P(ξ＝1)＝＝＝0.6. 答案　{0，1，2}　0.6 12．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题．如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元、3000元、6000元的奖品(不重复得奖)，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值，并说明ξ＝3000所表示的随机试验的结果． 解析　ξ的可能取值为0，1000，3000，6000.ξ＝3000表示第一关通过，第二关通过而第三关没有通过． 13．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)写出ξ的取值范围； (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何，都加上6分，求最终得分η的可能取值； (3)已知P(ξ<2)＝0.2.求P(η>11). 解析　(1)由已知得ξ的取值范围是{0，1，2，3}． (2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值为{0，1，2，3}，∴η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6. 故η的可能取值为{6，11，16，21}． 显然，η是离散型随机变量． (3)因为ξ<2⇒η<2×5＋6＝16， 所以P(ξ<2)＝P(η≤11)＝0.2， 所以P(η>11)＝1－P(η≤11)＝0.8. [核心价值·探索创新] 14．某市公交公司规定：身高不超过120 cm的学生免费乘车，凡身高超过120 cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况． 解析　由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高． η＝ 因此η也是一个离散型随机变量，其取值为0，0.5. 15．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．记某选手抽到科技类题目的道数为X. (1)试求出随机变量X的可能取值； (2)X＝1表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？ 解析　(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3. (2)X＝1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”．从三类题目中各抽取一道有C·C·C·A＝180种不同的结果．抽取1道科技类题目，2道文史类题目有C·C·A＝180种不同的结果，抽取1道科技类题目，2道体育类题目，有C·C·A＝18种不同的结果． 所以可能出现180＋180＋18＝378种不同的结果． 学科网（北京）股份有限公司 $$