8.6.2 直线与平面垂直-（教师WORD）2021-2022学年高中数学【精讲精练】人教A版必修第二册 新课标辅导

§8.6.2　直线与平面垂直 学业标准 学科素养 1．了解直线与平面垂直的定义． 2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题. 1．通过直线与平面垂直的定义的学习，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．借助直线与平面垂直的判定定理，提升逻辑推理等核心素养． 3．通过直线与平面所成角的求解，培养数学运算素养. [教材梳理] 导学1　直线与平面垂直的判定 鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进， 做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直． 　用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ [提示]　不能． 　上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ [提示]　直线垂直于平面内的两条相交直线． 　若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？ [提示]　不一定． ◎结论形成 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都__垂直__，就说直线l与平面α互相垂直，记作__l⊥α__ .直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__ .直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__ . (2)图形语言：如图． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a⊂α，都有 l⊥a⇒__l⊥α__ . (4)结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有__一条__ . 2．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与__垂足间__的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__长度__叫做这个点到该平面的距离． 3．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 __a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b__⇒l⊥α 作用 由线线垂直证明线面垂直 导学2　直线与平面所成的角 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料．斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成． 　图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？ [提示]　不同． 　能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？ [提示]　能． 　直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？ [提示]　能． ◎结论形成 1．射影 一条直线l与一平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的__斜线__，斜线与平面的交点A叫做__斜足__ .过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO，过__垂足O和斜足A__的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的__锐角__叫做这条直线和这个平面所成的角． 如图，__∠PAO__就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是__90°__ . (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是__0°__ . (4)线面角θ的范围：__0°≤θ≤90°__ . 导学3　直线与平面垂直的性质定理 1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线__平行__ 图形语言 符号语言 ⇒a∥b 作用 由线面垂直证明线线平行 2．直线到平面的距离 一条直线与一个平面__平行__时，这条直线上__任意一点__到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．平面与平面间的距离 如果两个平面__平行__，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的__距离__都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离． [基础自测] 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α. ②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α； ④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α； ⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误