8.6.2 第一课时 直线与平面垂直的判定（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

8.6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 课标要求 素养要求 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养. 自主梳理 1.直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)有关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．　　　 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 3.直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×) (2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×) (3)若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.(√) (4)若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.(×) 提示　(1)直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时，l与α不一定垂直. (2)还有可能a⊂α.(4)l∥α或l⊂α. 2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 答案　C 解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC. 3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆有可能 答案　D 解析　两条直线平行、相交或异面. 4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________(填上满足结论的序号). ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边. 答案　①③ 解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直. 题型一　线面垂直概念的理解 【例1】　下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 答案　④⑤ 解析　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤. 思维升华　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 【训练1】　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m 答案　B 解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面. 题型二　求直线与平面