第六章 章末整合提升-（教师WORD）2021-2022学年高中数学【精讲精练】人教A版必修第二册 新课标辅导

一、平面向量的线性运算 1．向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝. 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律． 2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用． 几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点． 3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [例1]　(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________ . (2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________ . [解析]　(1)因为 λa＋b与a＋2b平行， 所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb， 所以解得 (2)因为 ＝2，所以＝. 因为 ＝，所以＝(＋)， 所以＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y，所以x＝，y＝－. [答案]　(1)　(2)　－ 1. 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m＝____________ . 解析　设＝λ， 则＝＋＝－＋m＋ ＝(m－1)＋. ＝＋＝－＋. ∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝. 答案　 二、平面向量的数量积运算 1．利用数量积的定义、运算律求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 2．借助零向量 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 3．借助平行向量与垂直向量 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题． 4．建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 5．设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝ . 角度1　平面向量的数量积 [例2－1]　(1)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影向量为(　　) A.　　　　　 B. C. D. (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若·＝－3，则·＝________ . [解析]　(1)＝(2,1)，＝(5,5)，设向量e是与同向的单位向量，则e＝，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影向量为||cos〈，〉e＝||×e＝e＝e＝e＝. (2)因为·＝· ＝－2－·＝－3，所以·＝. [答案]　(1)A　(2) 角度2　向量的模与夹角 [例2－2]　(1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________ . (2)已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ. [解析]　(1)因为向量a，b夹角为45°， 且|a|＝1，|2a－b|＝， 所以＝， 化为4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10， 化为|b|2－2|b|－6＝0，因为|b|≥0，解得|b|＝3. (2)∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.∵a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos＝|b|×4×＝－4， ∴|b|＝2.∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c， ∴16＝n×(－4)，∴n＝－4. 在c＝ma＋nb两边同乘以a， 得0＝8m－4a·b.① 在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.② 由①②，得m＝±，∴a·b＝±2， ∴cos θ＝＝±，∴θ＝或. [答案]　(1)3　(2)见解析 2．在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为________ . 解析　以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)， 则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0. 设M(t,2－t)，则N(t＋1,1－t)(0≤t≤1)， 所以·＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t) ＝2t2－2t＋2＝22＋. 因为0≤t≤1，所以·的取值范围为. 答案　 三、解三角形 在三角形的六个元素中，已知三个(除三个角外)元素能求解其他三个元素，常见类型及其解法如下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角(如a，B，C) 正弦