专项三 立体几何与空间向量（二）-2022届高三数学考前专项突破

专项三 立体几何与空间向量 第2课时 空间向量的应用 一、【知识必备】 1．异面直线所成角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝， 其中a，b分别是直线l1，l2的方向向量． [注意]　两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝. [注意]　直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 3．二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图①. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图②③. [注意]　(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断； (2)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为. 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为||＝. 二、【学以致用】空间坐标系的建立 应用空间向量，合理“建系设点”是关键.以三棱锥为例说明. 【案例1】如图（1）在，沿把折起，使.2 1 【析】存在线线垂直关系时，直接用三条垂线所在直线为轴建系，以轴建立空间直角坐标系(图2）. 【范例2】如图(3)，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上. 【析】存在线面垂直关系时，一般以面的垂线为Z轴构造三线垂直关系.如图(4)，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 【范例3】如图(5)，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， ，的中点． 【析】存在面面垂直关系时，可先在一面内作交线的垂线，从而构造三线垂直关系.如图(6)，连结OP，以