微专题7 非线性回归方程-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题7 非线性回归方程 所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理。 非线性回归方程的求法 根据原始数据作出散点图 根据散点图,选择恰当的拟合函数 作恰当变换,将其转化成线性函数,求回归方程 在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程. 【例1】红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值． 平均温度 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数个 7 11 21 24 66 115 325 1.9 2.4 3.0 3.2 4.2 4.7 5.8 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到 （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为．记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 附：回归方程中，，． 参考数据 5215 17713 717 81.3 3.6 【例2】个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税．我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》．公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如表： 年　　份 2013 2014 2015 2016 2017 时间代号 1 2 3 4 5 个税收入千亿元 6.53 7.38 8.62 10.09 11.97 并制作了时间代号与个人所得税收入的如图散点图： 根据散点图判断，可用①与②作为年个人所得税收入关于时间代号的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据： 3 8.92 2.16 11 10 374 1.60 83.83 表中，，，参考数据：，． 以下计算过程中四舍五入保留两位小数． （1）根据所给数据，分别求出①，②中关于的回归方程； （2）已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为关于时间代号的回归方程？ （3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜？（只需叙述，不必计算） 附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【变式1-1】为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了散点图． （1）根据散点图判断，在推广期内，与，均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表： 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每