微专题6 立体几何中的截面问题-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题6 立体几何中的截面问题 1．截面问题 (1) 正方体的基本斜截面： 正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形． (2) 圆柱体的基本截面： (3) 结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的判定定理与性质定理求截面问题． 目 录 类型一 确定截面的形状 2 类型二　确定截面的个数 5 类型三　计算截面图形的面积或周长 7 类型一 确定截面的形状 【例1】在正方体中，为的中点，为棱上的动点（不包括端点），过点，，的平面截正方体所得的截面的形状不可能是　　 A．四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【例2】如图，在正方体中，点为棱的中点，用平行于体对角线且过点，的平面去截正方体，得到的截面的形状F是　　 A．平行四边形 B．梯形 C．五边形 D．以上都不对 【变式1-1】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　 ①三棱锥的体积为定值； ②当时，为等腰梯形； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【变式1-2】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　 A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，与的交点满足 D．当时，为六边形 类型二　确定截面的个数 【例3】设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面　　 A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 【例4】如图，在四棱锥中，与相交．若平面截此四棱锥得到的截面是一个平行四边形，则这样的平面　　 A．不存在 B．恰有1个 C．恰有5个 D．有无数个 【变式2-1】祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为，其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为，四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】在下列四个命题中，其中正确命题的是　　 A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台 类型三　计算截面图形的面积或周长 【例5】已知正方体的棱长为1，点是线段上（不含端点）的任意一点，点是线段的中点，点是平面内一点，则下面结论中正确的有　　 A．平面 B．以为球心、为半径的球面与该正方体侧面的交线长是 C．的最小值是 D．的最小值是 【例6】已知在棱长为4的正方体中，为棱的中点，以点为球心，以为半径的球的球面记为，则下列结论正确的是　　 A．与面的交线长为 B．直线被截得的线段长为 C．若点为上的一个动点，则的最小值为 D．与截面的交线长为 【变式3-1】正方体棱长为2，以其体对角线的交点为球心，为半径的球与正方体 【变式3-2】在棱长为1的正方体中，以为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为　　． 【变式3-3】已知正方体的棱长为2，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的各段曲线的长度之和等于 　　． 1．已知球与棱长为的正方体的各个面都相切，则平面截此球所得的截面面积为　　 A． B． C． D． 2．已知球与棱长为2的正方体的各面都相切，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 3．已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为　　． 4．已知棱长 为4的正方体，球与该正方体的各个面相切，则以平面截此球所得的截面为底面，以为顶点的圆锥体积为　　． 5．已知正方体的棱长为2，是空间中任意一点． ①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是； ②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是； ③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆； ④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是． 以上说法正确的有 　　． 6．已知正四面体的棱长为2，平面与棱，均平行，则截此正四面体所得截面面积的