微专题5 立体几何中的折叠与展开问题-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题5 立体几何中的折叠与展开问题 1. 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形,找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化,哪些发生了变化,在证明和求解的过程中恰当地加以利用. 解决此类问题的步骤:折叠问题 第一步 第二步 第三步 确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量 在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面 利用判定定理或性质定理进行证明 2. 展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,是将空间问题转化为平面问题来处理.一般地,涉及到多面体表面的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试. 目 录 类型一 折叠问题 1 类型二 展开问题 4 类型一 折叠问题 【例1】如图甲,在四边形中,,,是边长为4的正三角形,把沿折起到的位置,使得平面平面;如图乙所示,点、、分别为棱、、的中点. (1)求证:平面平面; (2)求三棱锥的体积. 【例2】如图,在平面图形中,为菱形,,,为的中点,将沿直线向上折起,使. (1)求证:平面平面; (2)若直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积. 【变式1-1】如图甲的平面五边形中,,,,,,现将图甲中的三角形沿边折起,使平面平面得图乙的四棱锥.在图乙中 (1)求证:平面; (2)求二面角的大小; (3)在棱上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为?并说明理由. 类型二 展开问题 【例1】如图,已知正三棱柱的底面边长为,高为,则一质点自点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 A.5 B.12 C.13 D.25 【例2】如图,正三棱锥中,,,一质点自点出发,沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点的最短路线的长为 A.2 B.3 C. D. 【变式2-1】如图,在直三棱柱中,,,,,点为侧棱上的动点. (1)求此直三棱柱的表面积; (2)当最小时,三棱锥的体积. 1.把如图的平面图形分别沿、、翻折,已知、、三点始终可以重合于点得到三棱锥,那么当该三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为 . 2、如图,是圆的直径,点是圆上异于,的点,垂直于圆所在的平面,且, (Ⅰ)若为线段的中点,求证:平面; (Ⅱ)求三棱锥体积的最大值; (Ⅲ)若,点在线段上,求的最小值. 3.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答. ①;②;③点在平面的射影在直线上. 如图,平面五边形中,是边长为2的等边三角形,,,,将沿翻折成四棱锥,是棱上的动点(端点除外),,分别是,的中点,且 _. (1)求证:平面; (2)当与平面所成角最大时,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 4.如图,在矩形中,,,分别为,的中点,以为折痕把折起,点到达点的位置,使. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值. . 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学科网(北京)股份有限公司 $微专题5 立体几何中的折叠与展开问题 1. 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用． 解决此类问题的步骤：折叠问题 第一步 第二步 第三步 确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量 在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面 利用判定定理或性质定理进行证明 2. 展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问题来处理．一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试． 目 录 类型一 折叠问题 1 类型二 展开问题 4 类型一 折叠问题 【例1】如图甲，在四边形中，，，是边长为4的正三角形，把沿折起到的位置，使得平面平面；如图乙所示，点、、分别为棱、、的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【分析】（1）证明平面可得，根据中位线定理和勾股定理可证，故而平面，于是平面平面； （2）分别计算的面积和到平面的距离，代入体积公式计算． 【解答】（1）证明：，是的中点，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面，， ，，，，， 是的中位线，， ，又， 平面，又平面， 平面平面． （2）是边长为4的等边三角形，， 到平面的距离， 是的中位线，， ． 【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 【例2】如图，在平面图形中，为菱形，，，为的中点，将沿直线向上折起，使． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【分析】（1）取中点，连接，，，可得，然后证明，可得平面，进一步得到平面平面； （2）由（1）知，平面，连接，可得，求解三角形可得，再求出四边形的面积，代入棱锥体积公式求解． 【解答】（1）证明：取中点，连接，，， ，得， 由底面为菱形，得， ，分别为，的中点，，则， 又