专题1.1 《数列》（精讲篇）--【备战期末】《2021-2022学年高二下期末数学复习提升讲练》（新高考·2019版新教材）

专题1.1 《数列》（精讲篇） （一）数列的概念 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列. 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式： 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列的前项和和通项的关系： 6.数列的性质----主要指： （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； （2）数列的周期性. （二）等差数列 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：； 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （三）等差数列的前和的求和公式：. （四）等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 3.,则,. 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值． （五）等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为：. 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． (2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． (3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． （六）等比数列的前n项和 一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）. 说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（