2022年中考数学一轮综合复习导学案（5）一元二次方程与二次函数

2021-2022学年度中考一轮综合复习导学案（5） 模块五：一元二次方程与二次函数 【教材涉及章节： 初三上第22章 一元二次方程 初三上第23章 二次函数 】 涉及到2021大连中考题题： 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. ❤重点讲解❤： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． ❤重点讲解❤： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. ❤重点讲解❤： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. ❤重点讲解❤： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 要点五、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. ❤重点讲解❤： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点六、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④，；⑤.（以上式子a≠0）其中 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交