第13讲 立体几何初步(几何体的表面积与体积)-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第13讲 几何体的表面积与体积 【必备知识1】 1.常见几何体的面积与体积公式 几何体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开是矩形,,表面积 体积,(为底面面积,为高) 圆锥 圆锥的侧面展开是扇形,,表面积 体积,(为底面面积,为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环, ,表面积 体积 (分别为上、下底面的面积, 为圆台的高) 球 半径为的球的表面积 半径为的球的体积 【典例剖析】 1．已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为， 所以， 由题得， 所以这个圆台的侧面积是. 故选：B 2．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意得，设，则，. 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，，所以，， 所以，，所以，， 所以等腰梯形的面积为，得. 所以，，，故方亭的体积为. 故选：C. 3．如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，，且，若该容器模型的体积为，则该容器模型的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意得该容器模型为正四棱台，上、下底面的边长分别为2cm，3cm. 设该棱台的高为h，则由棱台体积公式， 得： 得， 所以侧面等腰梯形的高， 所以， 故选：C 4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得， ，， 设上底面面积为，下底面面积为， 则体积为. 故选：B. 【必备知识2】 1.求体积的常见方法 体积的求解与计算是立体几何学习的重点,其方法灵活多样,而分割、补形和等积变换是常见的三种求体积 的方法.其中分割、补形也称为“割补法”. (1)分割求和法 求一个不规则几何体的体积时,可将几何体分割成若干个规则的小几何体,求得小几何体的体积后,求和即得原几何体的体积,这就是分割法. (2)补形法 把不规则形体补成规则形体,把不熟悉的形体补成熟悉的形体, 便于计算其体积. 常用的补形法如下: 将正四面体补为正方形 将对棱长相等的三棱锥补成长方形 将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体 将三棱锥补成三棱柱 将三棱柱补成平行六面体 将台体补成椎体 (3)运用“等体积转换法"求三棱锥的体积和点到面的距离 当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某个量(底面积或高)不易求解时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算.具体作法是选择合适的底面, 使得底面面积和高易于计算.该方法适用于求三棱 雉的体积,由于三棱雉是由4个三角形面围成的四面体, 其中任何一个三角形面都可以看成其底面, 当已知三棱锥的体积和底面面积,三棱锥的高即是顶点到底面的距离可求,所以可通过此方法求点到底面的距离. 【典例剖析】 方法一:分割求和法 1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH， 容易求得，. 取AD的中点O，连接GO，易得，则， 所以，多面体的体积 故选：A 2．《九章算术》中将三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示，已知五面体为羡除，其中，，，，与的距离为，点到平面的距离为，则该羡除的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接， ，点到平面的距离即为与的距离，即为， ， ， 该羡除的体积. 故选：C. 方法二:补型法 1．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设外接球半径为，则，解得, 将正四面体恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球， 则正方体的体对角线等于外接球的直径， 故，解得，正方体棱长为 ， 故该正四面体的体积为， 故选：A． 2．在棱长为2的正方体ABCD−A1