专题16 利用导数研究函数的零点[-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

16.利用导数研究函数的零点 一．边角问题 【例1】（2019年·新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）由题意知：定义域为：且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：，， ①当时，由（1）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点， ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点， ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点， 综上所述：有且仅有个零点. 【方法技巧】(1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题。 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解。 二．根据函数的零点个数求参数的取值范围 【例2】（2020年·新课标Ⅰ）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【方法技巧】根据函数零点的情况求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 三．以函数零点为背景的双变量不等式问题 【例3】（2016年·新课标1卷）已知函数有两个零点. （1）求的取值范围； （2）设x1，x2是的两个零点，证明：. 【解析】（1）． ①设，则，只有一个零点． ②设，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 又，，取满足且，则 ， 故存在两个零点． ③设，由得或． 若，则，故当时，，因此在单调递增． 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在单调递增． 又当时，， 所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，而，故当时，． 从而，故． 【方法技巧】破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【演练提高】 1.（安徽省亳州市蒙城县第六中学2022届高三下学期开年联考）已知函数. （1）若，求证：恒成立； （2）当时，求零点的个数. 【解析】（1）当时，，， 当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以的最小值是，即恒成立. （2）因为，所以. ①当时，.所以在上单调递减. 因为，所以有且仅有一个零点. ②当时，令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在上有且仅有一个零点. 因为，，且， 所以，使得. 所以在上有且仅有一个零点. 综合以上知，当时，有两个零点. ③当时，. 令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，且. 所以有且仅有一个零点. 综上所述，当或时，有且仅有一个零点； 当时，有两个零点. 2.（广东省佛山市第一中学2022届高三上学期12月月考）已知函数． （1）证明：在区间存在唯一的极值点； （2）试讨论的零点个数. 【解析】（1）证明：函数的定义域为，导函数为, 当时，，所以在单调递减． 又因为 ，， 根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点． 当时，；当时，, 因此，在单调递增，在单调递减， 故在区间存在唯一的极值点； （2）令，则．当时，； 当时，．因此，在单调递增，在单调递减． 由于，且当时，， 故当时，，从而在区间没有零点． 当时，，从而， 在单调递减．又， 根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点． 当时，由（1）知在单调递增，在单调递减． 又， 根据函数零点存在定理