专题15 利用导数求参数的取值范围-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

15.利用导数求参数的取值范围 一．根据不等式恒成立求参数的取值范围 【例1】（2020年·新课标Ⅰ）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 由于，故单调递增，注意到， 故当时，单调递减， 当时，单调递增. （2）由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. 【方法技巧】利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二．根据不等式能成立求参数的取值范围 【例2】（2014年·新课标Ⅰ）设函数，曲线处的切线斜率为0. （1）求； （2）若存在使得，求的取值范围. 【解析】（1）， 由题设知，解得. （2）的定义域为，由（1）知，， （ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增， 所以，存在，使得的充要条件为，即， 所以. （ⅱ）若，则，故当时，； 当时，，在单调递减，在单调递增. 所以，存在，使得的充要条件为， 而，所以不合题意. （ⅲ）若，则. 综上，的取值范围是. 【方法技巧】“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min. 三．根据函数零点的个数求参数的取值范围 【例3】（2020年·新课标Ⅲ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由题，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减， 在，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且， 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 【方法技巧】已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点，②依据零点确定极值的范围，③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论。 【演练提高】 1.（四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断）已知函数. （1）求证：； （2）若函数无零点，求a的取值范围. 【解析】（1）， 则当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 故即. （2），故， 当时，在定义域上无零点; 当时，，故， 所以当时，，当时，， 故在上为增函数，在上减函数， 因为函数无零点，故，即； 当时，因为，所以， 即， 所以在定义域上无零点. 综上，的取值范围是. 2.（山东省济宁市2022届高三一模数学（3月））已知函数（且）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为 ①当时，与恒成立矛盾，不合题意. ②当时，，在上单调递减. 因为，， 所以，使得，即. 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以 . 因为，所以. 所以，即，解得. 因为，所以设，. 则，所以在上单调递增. 所以，即. 所以. 3.（2022届高三数学新高考原创试题）已知函数. （1）讨论的导函数零点的个数； （2）若的最小值为e，求a的取值范围. 【解析】（1）， 令，则，故在上单调递增，而， 当时，无解； 当时，由，，故有一个在上的解； 当时，由，故的解为1； 当时，由，，故有一个在上的解； 综上，当或时，导函数只有一个零点. 当或时，导函数有两个零点. （2）当时，，则函数在处取得最小值. 当时，由（1）知：在上单调递增，则必存在正数使得. 若则，在上，则，在上，则，在上，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，又，不合题意. 若则，在上，则在上单调递增，又，不合题意. 若则，在上，则，在上，则，在上，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，则， 解得，即. 综上，. 4.（四川省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考）已知函数的图象经过坐标原点，且． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，，求的取值