专题11 圆锥曲线中的探究性问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

11.圆锥曲线中的探究性问题 一．探求点 【例1】（2019年·新课标Ⅱ）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 【解析】（1）连结，由为等边三角形可知： 在中，，，， 于是， 故椭圆C的离心率为； （2）由题意可知，满足条件的点存在， 当且仅当，，， 即 ① ② ③ 由②③以及得，又由①知，故； 由②③得，所以，从而，故； 当，时，存在满足条件的点. 故，所以实数a的取值范围为. 【例2】（2022年高三数学新高考测评卷）已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1. （1）求C的方程. （2）若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意，双曲线的渐近线方程为， 又由双曲线的右焦点为，可得， 所以到渐近线的距离， 所以，所以C的方程为. （2）由题意易知直线的斜率存在，设其方程为， 联立与C的方程，消去y，得， 因为直线与C的右支相切，所以，（双曲线右支上的点需满足的条件） ， 得，则， 设切点，则， ， 设，因为Q是直线与直线的交点，所以，， 假设x轴上存在定点，使得， 则 ， 故存在，使得，即， 所以x轴上存在定点，使得. 【例3】（2015年·新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点， （1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 【解析】（1）由题设可得，，或，. ∵，故在=处的导数值为， C在处的切线方程为，即. 故在=-处的导数值为-， 曲线C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. （2）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. 【方法技巧】圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时要分类讨论． （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．　 二．探求直线 【例4】（江西省赣州市2022届高三上学期期末）已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5. （1）求椭圆C的方程： （2）设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由. 【解析】（1）由, 由, ,故, ∴, ∴, ∴， 即椭圆的标准方程为. （2）假设满足条件的直线存在， 当直线的斜率不存在时，不合题意， 不妨设直线：，，，显然 ， 联立，得， 所以， 因为，，得， 即（3）， 由（1），（3），得 （4）， 将（1）（4）代入（3）得， 所以直线的方程为， 故存在直线，使得与的面积比值为5：7. 【方法技巧】存在性问题的求解方法 （1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． 【演练提高】 1.（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末）已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，． （1）求的方程． （2）若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为， 因为直线 斜率不存在时，可得， 由题意得，解得，故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立整理得， 则，，所以， 由题意可得直线的方程为，直线的方程为， 则， 即， 把代入上式，得， 即，故点在定直线上． 2.（天津市西青区杨柳青第一中学2021-2022学年高三上学期第二次阶段检测）已知椭圆C：（a＞b＞0）上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点. （1）求圆O和椭圆C的方程； （2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与