专题10 圆锥曲线中的定点问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

10.圆锥曲线中的定点问题 一．与椭圆有关的定点问题 【例1】（2020年·新课标Ⅰ）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ，， ，， ，， 椭圆方程为：. （2）证明：设， 则直线的方程为：，即， 联立直线的方程与椭圆方程可得：， 整理得，解得或， 将代入直线可得， 所以点的坐标为. 同理可得点的坐标为， 当时， 直线的方程为， 整理可得， 整理得， 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 【方法技巧】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 二．与抛物线有关的定点问题 【例2】（2019年·新课标Ⅲ）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 【解析】（1）证明：设,,则． 又因为，所以.则切线DA的斜率为， 故，整理得. 设，同理得. ,都满足直线方程. 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线， 所以直线方程为.即， 当时等式恒成立．所以直线恒过定点. （2）由（1）得直线的方程为. 由，可得， 于是， . 设分别为点到直线的距离，则. 因此，四边形ADBE的面积. 设M为线段AB的中点，则， 由于，而，与向量平行，所以，解得或. 当时，；当时 因此，四边形的面积为3或. 【方法技巧】应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点. 二．与圆有关的定点问题 【例3】（2017年·新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足. （1）求点P的轨迹方程； （2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 【解析】（1）设P（x，y），M（）,则N（），， 由得. 因为M（）在C上，所以. 因此点P的轨迹为. 由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n）， 则， . 由得-3m-+tn-=1， 又由（1）知，故3+3m-tn=0. 所以，即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 【方法技巧】本题证明，结合过点P存在唯一直线垂直于OQ，从而得出结论. 四．结构不良问题 【例4】（江苏省新高考基地学校2021-2022学年高三上学期12月第二次大联考）已知椭圆的右焦点为，长轴与短轴的长度之和.直线与相切于点，且与直线相交于点. （1）求椭圆的方程； （2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立. ①以为直径的圆经过点；②. 【解析】（1）由题意知， 椭圆C的方程为. （2）以②作为条件，①作为结论， ， ， ， ，， ∴，，， ，， ∴， ∴，即以为直径的圆经过点. 以①作为条件，②作为结论， ， ， ， ，， ∴，，， ，， 因为以为直径的圆经过点，所以. 解得. 【方法技巧】结构不良问题，仔细审题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的解答. 【演练提高】 1.（吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试）已知抛物线上一点到焦点的距离为． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点A，为抛物线位于轴上方不同的两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点． 【解析】（1）∵点到焦点的距离为，，解得：， 抛物线的标准方程为； （2）方法一：设，，则，， 设直线的方程为：，直线的斜率， 联立方程得， 则，，， ，，则，即， ∴，即则直线的方程为， 过定点 ∴直线过定点. 方法二：设、，由题意，∴， 设直线的方程为：， 联立方程得，， 由，可得，， ，即， ，即， 即，即，整理得， 直线的方程为，过定点， ∴直线过定点. 2.四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，． （1）求椭圆C的方程； （2）不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标． 【解析】（1）由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)． ∵， ∴ 解得从而b2＝a2－c2＝3． ∴