专题07 利用空间向量解决存在性问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

7.利用空间向量解决存在性问题 一．探求线段的长度 【例1】（2021年·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小? 【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以 因为，，所以， 又，所以平面． 所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以， ． 由题设（）． （1）因为， 所以，所以． （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以， 此时． 【方法技巧】 二．探究点的位置 【例2】如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，∥，，，，E为线段AD的中点，过BE的平面与棱PD，PC分别交于点G，F． （1）求证：平面PAD； （2）试确定点G的位置，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为． 【解析】（1）证明：连结PE，因为，且E为线段AD的中点，所以． 又BC∥AD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD． 因为，所以． 又平面，平面PCD，所以∥平面PCD． 又平面BEGF，平面平面，所以BE∥GF． 又平面平面ABCD，平面ABCD，，平面平面， 所以平面PAD． 因为平面PAD，所以， 又因为BE∥GF，所以，， 而，PE，平面PAD， 所以平面PAD； （2）G为棱PD上靠近D的三等分点. 证明如下：因为，E为线段AD的中点， 所以， 又平面平面ABCD， 如图，以E为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设，得，所以． 设平面BEGF的法向量为，则， 即 令，可得为平面BEGF的一个法向量， 设直线PB与平面BEGF所成角为， 于是有； 解得或（舍去）， 所以当G为棱PD上靠近D的三等分点时，直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为． 【方法技巧】 【演练提高】 1.（吉林省吉林市2021-2022学期高三上学期第二次调研测试）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD满足：，． （1）要经过平面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明） （2）若，，当点P在点C处时，求直线AP与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）过点作直线分别交于连接 （2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 . 设平面的法向量为， 则，取 设直线与平面所成角为 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. （1）求证：直线l⊥平面PAC； （2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF､直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：因为E，F分别是PB，PC的中点，所以BCEF， 又因为EF 平面EFA，BC不包含于平面EFA，所以BC面EFA， 又因为BC面ABC，面EFA∩面ABC，所以BC， 又由BC⊥AC，面PAC∩面ABCAC，且面PAC⊥面ABC，所以BC⊥面PAC， 因为BC，所以⊥面PAC. （2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 设，面的法向量为，则， 取，得， 又由， 所以，， 根据题意，可得，即， 解得， 所以直线上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF直线EF所成的角互余，且. 3.（内蒙古海拉尔第二中学2021-2022学年高三上学期第三次阶段考）已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图1．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图2． （1）求异面直线AC与BF所成角的余弦值； （2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF． 【解析】（1）因为平面AEF⊥平面BCEF，平面AEF平面BCEF，，所以平面，所以，又，所以建立如下图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，所以 所以 所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为. （2）设，因为，所以 设为平面的一个法向量 则，即，因此可取 所以 因为EM∥平面ABF，所以，即 所以当时，EM∥平面ABF. 4.（江苏省南通市2021-2022学年高三下学期第一次调研）如图，在直四棱柱中，，，，.点在棱上，平面与棱交于点. （1）求证：； （2）若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 【