专题06 利用空间向量解决平面与平面所成的角 -备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

6.利用空间向量解决平面与平面所成的角 一．求二面角的三角函数值 【例1】（2021年·全国乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 二．已知线面角求二面角的三角函数值 【例2】（2017年·新课标2）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点． （1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值． 三．结构不良问题 【例3】（北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测）刍甍（chú   méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于EF． （1）求证：平面； （2）若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使几何体存在且唯一，并求平面和平面的夹角的余弦值． 条件①：，； 条件②：平面平面； 条件③：平面平面，． 【演练提高】 1．（吉林省松原市吉林油田高级中学2021-2022学年高三上学期开学调研）如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，. （1）求证：平面BDEF； （2）求二面角的余弦值. 2．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（三））已知四棱锥，平面，底面是等腰梯形，，，，. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值. 3．（江苏省扬州市高邮市2021-2022学年高三下学期期初学情调研）如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将△DAE折起，使得点D到达F位置. （1）当时，求证：平面AFC； （2）当时，求二面角B-EF-C的余弦值. 4．（黑龙江省2021-2022学年高三下学期校际联合考试）如图，在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 5.（重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷（五））如图，在三棱柱中，，.分别是的中点，平面平面. （1）求证：； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 6．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（八））如图，在正三棱柱中，，点D在边BC上，E为的中点. （1）如果D为BC的中点，求证：平面平面； （2）设锐二面角的平面角为，，，当取何值时，取得最大值？ 7．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（五））如图，在圆锥OP中，底面的半径为2，是底面的内接等边三角形，三棱锥的体积为. （1）求圆锥OP的表面积； （2）若为的直径，求二面角的余弦值. 8．（河南省顶级中学2021-2022学年高三上学期阶段性测试）已知梯形ABCD如图（1）所示，其中AB//CD，∠BAD=90°，∠BCD=45°，CD=BC，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点.现将△DAM沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面PAM⊥平面AMC，得到的图形如图（2）所示. （1）求证：AP⊥PN； （2）求平面PAN与平面PCM所形成的锐二面角的余弦值. 9．（安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月第二次联考）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马” 中，侧棱底面ABCD，且. （1）若，试计算底面ABCD面积的最大值； （2）过棱PC的中点E作，交PB于点F，连DE，DF，BD.若平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的大小为，试求的值. 10．（广东省深圳市2022届高三下学期一模）如图，在四枝锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点． （1）求证：平面ABE； （2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值． 11．（山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期学科核心素养测评）如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，． （1）当k为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心； （2）若，当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值． 12．（辽宁省大连市2021-2022学年高三上学期期末）如图，在四棱锥中，. （1）证明：平面； （2）在下面三个条件中选择两个条件：________，求点到平面的距离.①；②二面角为；③直线与平面成角为. 13．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①；②；③点P在平面A