专题01 利用正弦定理、余弦定理解三角形-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

1.利用正弦定理、余弦定理解三角形 一．边角问题 【例1】（2021年·新高考Ⅰ）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【解析】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， ∴， 同理， ∵， ∴，整理得， 又，∴， 整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，； 综上，. 【方法技巧】(1)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系． (2)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”． (3)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理． 二．最值与范围的问题 【例2】（2020年·新课标Ⅱ））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【解析】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. 【方法技巧】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解． 三．结构不良问题 【例3】（2022·西南四省名校高三大联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，再从条件①，②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求的内切圆半径r； （2）设，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．若在上恰有3个不同的零点，，，求的范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）若选条件①，， ∴，又， ∴， 又，∴． 若选条件②， 由， ∴， ∴， ，， 又，∴． （1）由，∴， 在中，由余弦定理， ∴，∴， ∴，又， ∴． （2）由． 由题知，∴，从而． 由题知在上与有3个交点． 又在的大致图象如图， 由图可知，， 而，∴． 【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的. 【演练提高】 1．(2022年·四川内江市威远中学高三月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)cosC=ccosA. （1）求角C的大小； （2）若，，求△ABC的面积． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 因为，故， 因为，故； （2）因为， ， 整理可得，可得， 又，所以． 2．（2022年·湖北武汉市高三2月调研）在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积，求. 【解析】（1）由题意，. . 有. （2）由余弦定理，，有. 又，代入得：， 整理得：即.此时. . 3.（2022年·四川自贡市高三第一次诊断性）在中，，，． （1）求； （2）求边上的高． 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，所以是锐角，所以 （2）由余弦定理得， ， ， 解得或， 设边上的高为， 则， 所以，或. 4.（2022年·上海市实验学校高三考试）已知函数． （1）若，，求的值； （2）在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值． 【解析】（1） ∵，∴， 又∵，∴， ∴ ， ∴ ， （2）∵，∴， 又∵，∴， ∴，即， 又∵，∴， 由余弦定理得， ， 即. 5.（2022年·黑龙江哈尔滨市第九中学高三检测）在△中，角A，B，C所对的边为a，b，c，． （1）求角的大小； （2）△的面积为，△的外接圆半径长为，求a，b，c． 【解析】（1）由已知得 ∵，∴， ∴，∴ 又∵，∴， 又∵，∴； （2）由得：， 由正弦定理得，∴ 由余弦定理，，即， ，则， 则，， 6.（2022年·江苏省百校大联考）在△ABC中，已知，点D在边BC上，． （1）若，求AC； （2）若AD平分∠BAC，求． 【解析】（1）因为且， 所以，，过点作于点， 因为，且， 所以，，所以，所以，所以， 在中，由余弦定理， 即，所以； （2）过作于点，设，，则， 因为，所以，因为， 又平分，所以，即， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 7.（2022年·天津市西青区杨柳青第一中学高三检测）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且的面积为． （1）求a，b，c的值； （2）求的值． 【解析】（1）∵，且， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 又，∴， 由余弦定理知，， ∴， 综上，． （2）由（1）及正弦定理，知， 解得， ∵，∴， ∴， ∴． 8.（2022年·福建福州市高三抽测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）试判断的形状，并说明理由； （2）设点D在边AC上，若，，求的值. 【解析】（1）由已知条件，利用正弦定理可得， 即， 所以， 由于、B、， 所以或