预测11 动点变化引起的探究-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测11 动点变化引起的探究 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆ 考向预测 ①手拉手模型。 ②半角模型。 ③对角互补模型 类比探究性问题的特点是“图形变化但结构不变”，初中数学常见的结构有平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构。经常以几何三大变换、相似、直角、中点、面积、特殊三角形为载体呈现。通过类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题。 相似三角形模型 8字形模型 8字形 反8字形 A字形模型 A字形 反 A字形 共边反 A字形 一线三等角模型 一线三等角 一线三直角 在探究过程中，一般按照：①对比连续两问的特征，考虑类比的前提条件是否存在；②对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合。③对比结论，先从图上验证上一问的结论或者结合图形以及上一问的结论的组合方式尝试、猜测、验证新结论。 1．（2021·四川资阳市·中考真题）已知，在中，． （1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系； （2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长； （3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值． 【答案】（1），理由见详解；（2）；（3） 【分析】 （1）由题意易得，则易证，然后根据全等三角形的性质可求解； （2）过点A作AH⊥BC于点H，由题意易得，，然后可得，进而根据勾股定理可得，设，则，易得，则有，所以，最后问题可求解； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，由题意易得，，则有，然后可得，设，，进而根据勾股定理可求解x的值，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】 解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴AF=5； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示： ∵，， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC， ∴四边形GMPN是矩形， ∴， 设， ∴， 在Rt△ANG中，， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴当时，易知与相矛盾， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在Rt△DTC中，， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 2．（2021·重庆中考真题）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF． 图1 图2 图3 （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：； （2） 如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】 （1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可； （2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论． 【详解】 （1）解：①如图所示，连接AG， 由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形， ∴∠GFB=60°， ∵BD⊥AC， ∴∠FBC=30°， ∴∠FCB=30°，∠ACG=30°， ∵AC=BC，