预测10 图形与变换的几何探究-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测10 图形与变换的几何探究 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆ 考向预测 ①全等类型类比探究。 ②相似类型类比探究。 图形与变换的探究是全国中考的热点！全国各地的中考数学试题都把图形与变换的探究作为压轴题之一。 1．从考点频率看，三角形和四边形的综合探索与证明是高频考点。 2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约10分。 手拉手全等模型 类型一：共顶点的等腰直角三角形 手拉手全等模型 类型二：共顶点的等边的三角形 手拉手全等模型 类型三：共顶点的正方形 手拉手相似模型一 手拉手相似模型二 解答类比探究问题，一般是先确定题中不变结构，再应用不变结构去解决新的问题，如果是常见的结构，如平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构等，则用结构的模型类比解决。若不属于常见的结构类型，则需要尝试着去寻找不变结构解决问题。 1．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结． （1）如图1，若，求的长． （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：． （3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在， 【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论； （3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值． 【详解】（1）解 ，， ，，是等边三角形，是的中点，， 在中，，，． （2）证明：连结，，， ，， ， ，，又，， 是等边三角形，，， 又，， ，． （3）存在这样的． 过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则， ，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN， ∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，， ∴∠EAN=∠CBG ∵AE=BC，AB=BA，∴ ∴AC=BE，∴DE=BE， ∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴， ∵∴ 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度． 2．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形 [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长． [探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明． 【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析 【分析】[探究1] 设，根据旋转和矩形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可； [探究2] 先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出； [探究3] 连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论． 【详解】[探究1]如图1， 设．∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴点，，在同一直线上．∴，，∴． ∵，∴． 又∵点在延长线上，∴，∴，∴． 解得，（不合题意，舍去）∴． [探究2] ． 证明：如图2，连结． ∵，∴． ∵，，，∴． ∴，， ∵，，∴，∴． [探究3]关系式为． 证明：如图3，连结． ∵，，，∴．∴， ∵，，∴，∴． 在与中，，，∴， ∴，∴．∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 3.（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的