上海市某校2021-2022学年高三下学期期中考试数学试题

2021-2022年交大附中高三下期中 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．已知集合，，则______． 2．将循环小数化为最简分数为______． 3．等差数列的前9项和为18，第9项为18，则的通项公式为______． 4．已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是______． 5．二项展开式的常数项的值为______． 6．设函数的图像与的图像交点的横坐标从小到大依次记为，，，…，则______． 7．圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______． 8．右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为______． 9．已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______． 10．如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为______． 11．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是______． 12．如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线．设第n条线段与第条线段所夹的角为，则______． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的，”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分又非必要条件 14．以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ） A． B． C． D． 15．下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（ ） ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 16．对于直角坐标平面内的任意两点、，定义它们之间的一种“距离”：．给出下列三个命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．如图，正方形的边长为2，E，F分别是边及的中点，将，及折起，使A、C、B点重合于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求与平面所成角的正切值． 18．已知虚数，其中，，为虚数单位． ①若对任意，均有，求实数的取值范围． ②若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值． 19．“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为． （1）求实数，的值及助滑道曲线的长度． （2）若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）． 20．数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列． （1）判断数列是否具有性质并说明理由； （2）数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和； （3）若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列． 21．设椭圆：的左、右焦点分别为，．直线若与椭圆只有一个公共点，则称直线为椭圆的切线，为切点． （1）若直线：与椭圆相切，求椭圆的焦距； （2）求证：椭圆上切点为的切线方程为； （3）记到直线的距离为，到直线的距离为，判断“”是“直线与椭圆相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一.填空题 7 1.{1,4} 2. 3.an=4n-18 4.[2,√3] 11 5.-160 6. 3 7.3V5 8.28π 9. =1 520 32π 10.9 11. 12. 33 二.选择题 13.B 14.D 15.B 16.C 三.解答题 17. D D 解答：（1)由题意，∠EA1F=∠EA1D=∠DA1F=90°， 故v=×(6×1×1)×2=子 .6分 (2)法一：取EF中点G,连GD和A1G,则EF⊥A1G,EF⊥GD,于是EF⊥面A1GD, 故面DEF⊥面A1GD,A1D在平面EFD内的投影为GD, ..10分 ∠A1DG为直线A1D与平面DEF所成角，其正切值为源