秘籍03 四边形综合-备战2022年中考数学抢分秘籍

秘籍03四边形综合 概率预测 ☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆ 考向预测 ①三角形全等的判定 ②特殊四边形的判定 四边形综合题是全国中考常考题型。好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。 1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主。 2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！ 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 图形 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行，四边相等 对角相等 对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 正方形 对边平行，四边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分、相等，每一条对角线平分一组对角 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 图形 判定 平行四边形 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形 1：有三个角是直角的四边形是矩形 2：有一个角是直角的平行四边形是矩形 3：对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形 1：四边都相等的四边形是菱形。 2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形 1：有一组邻边相等的矩形是正方形 2：有一个角是直角的菱形是正方形 3：对角线互相垂直的矩形是正方形 4：对角线相等的菱形是正方形 中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。特殊四边形的性质和判定都是从边、角和对角线这3个方面着手。做题过程中经常还要用到三角形的全等判定（性质）和三角形相似判定（性质），个别难度较大的题还要做辅助线。 例1、（2021·青岛）如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵为边的中点， ∴ ∵，，， ∴ （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵平分， ∴. 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴是矩形 【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得，由线段的中点可得，根据AAS可证； （2）矩形.理由：根据对角线平分可证四边形是平行四边形，由角平分线的定义可得，结合 即得，利用等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得， 根据矩形的判定即证结论. 例2、（2021·盐城）如图， 、 、 分别是 各边的中点，连接 、 、 . （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）加上条件 后，能使得四边形 为菱形，请从① ；② 平分 ；③ ，这三个条件中选择条件填空（写序号），并加以证明. 【答案】（1）证明：已知 、 是 、 中点 ∴ 又∵ 、 是 、 的中点 ∴ ∵ ∴ ∴四边形 为平行四边形 （2）解：②或③；证明：选② 平分 ∵ 平分 ∴ 又∵平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形 是菱形 选③ ∵ 且 且 又∵ ∴ ∴平行四边形 为菱形 故答案为：②或③ 【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证； （2）若选②，利用（1）结论，只需再证明一组邻边相等（AF=EF）即证平行四边形 是菱形；若选③，可求出EF=DE，根据邻边相等的平行四边形是菱形即证. 例3、（2021·贺州）如图，在四边形 中， ， ， ， 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 . （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，求 的面积. 【答案】（1）证明：如图， ∵ ， ∴ ， 又∵ ，且 ， ∴ 为 的角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形. （2）解：由（1）得四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【解析】【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，由，可得 ，根据邻边相等的平行四边形是菱形即证； （2）根据菱形的性质得出，可求出， ，从而求出 ，利用计算即可. 例4、（2021·滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ． （1