北京市第四十三中学2021-2022学年高三下学期期中考试数学试题

北京市第四十三中学2021-2022学年度第二学期期中考试 高三年级数学 试卷 （时间：120分钟) 考生须知 1. 本试卷共3页，三道大题，21道小题。满分150分。考试时间120分钟。 2. 在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和教育ID号。 3. 试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束时，将答题卡按考场座位顺序上交。 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）复数 的虚部为 （A）2 （B）-2 （C）2i （D）-2i （3）设函数的定义域为[0,1]，则“在区间[0,1]上单调递增”是“在区间[0,1]上的最大值为”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）已知正方体的棱长为 ，为上一点，则三棱锥的体积为 A. B. C. D. （5）若双曲线，的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） （6）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：cm），且长与宽之比都相等．已知，，，则= （A）64 （B）96 （C）128 （D）160 （7）函数是 （A）奇函数，且最大值为2 （B）偶函数，且最大值为2 （C）奇函数，且最大值为 （D）偶函数，且最大值为 （8）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24 h降雨量的等级划分如下： 等级 24 h降雨量（精确到0.1） …… …… 小雨 0.1~9.9 中雨 10.0~24.9 大雨 25.0~49.9 暴雨 50.0~99.9 …… …… 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm ，高为300 mm 的圆锥形雨量 器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24 h 的雨水高度是150 mm（如图所示），则这 24 h 降雨量的等级是 （A）小雨 （B）中雨 （C）大雨 （D）暴雨 （9）已知直线（m 为常数）与圆交于点M, N．当k变化时，若|MN | 的最小值为2 ，则m= （A） （B） （C） （D） （10）已知是各项均为整数的递增数列，且．若，则n的最大值 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分） （11）在的展开式中，常数项为_______．（用数字作答） （12）已知抛物线的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x轴于点N．若，则点M 的横坐标为_______；△MNF 的面积为_______． （13）已知向量a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a + b)·c=_______；a·b=_______． （14）若点关于 y 轴的对称点为 ，则的一个取值为_______． （15）已知函数 ，给出下列四个结论： ① 当时，恰有2个零点； ② 存在负数k，使得恰有1个零点； ③ 存在负数k，使得恰有3个零点； ④ 存在正数k，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （16）（本小题13分） 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面． （17）（本小题14分） 如图，在平面直角坐标系中，点， ，锐角 的终边与单位圆 交于点 ． （Ⅰ）用 的三角函数表示点 的坐标； （Ⅱ）当 时，求 的值； （Ⅲ）在 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立?若存在，求出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． （18）（本小题13 分） 在核酸检测中，“ k 合1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检