6.2.4 向量的数量积(二)（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.4　向量的数量积(二) 第六章　 §6.2　平面向量的运算 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 学习目标 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、向量数量积的运算律 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 三、与垂直有关的问题 内容索引 一、向量数量积的运算律 1.对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识梳理 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝___________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝______ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝_________________ __________ 2. a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋ 2b·c＋2c·a 注意点： (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 例1　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c－b·c＝(a－b)·c B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C.|a|－|b|<|a－b| D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ √ √ 解析　根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确. 故正确结论的选项是ACD. 反思感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1　给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是____.(填序号) 解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确. ② 二、利用数量积求向量的模和向量的夹角 例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______. 方法二　(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， ①求|b|； 解　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1， 故|a＋2b|＝1. 解　设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 三、与垂直有关的问题 √ 因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0， 所以t＝－4. 反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小. 解　设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 所以θ＝60°， 即a与b的夹角为60°. 1.知识清单： (1)向量数量积的运算律. (2)利用数量积求向量的模和夹角. (3)向量垂直的应用. 2.方法归纳：类比法. 3.常见误区：忽略向量数量积不满足结合律. 课堂小结 随堂演练 1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 解析　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， 所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1. 2.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 √ 1 2 3 4 解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， 3.已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的