6.2.4 向量的数量积(一)（配套课件）-2021-2022学年高一新教材数学人教A版必修第二册【步步高】学习笔记

6.2.4　向量的数量积(一) 第六章　 §6.2　平面向量的运算 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所 做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积. 学习目标 给出有关材料并提出问题. 如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是 量；②F(力)是 量； ③s位移是 量；④α是 量. 导语 数 向 向 数 (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积. 这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F与s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习向量的数量积. 随堂演练 课时对点练 一、两向量的夹角 二、两向量的数量积 三、投影向量 内容索引 一、两向量的夹角 问题1　在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示　θ是向量F与向量s的夹角. 1.夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 . 当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b . 2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 . 注意点： 两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 非零向量 ∠AOB＝θ 知识梳理 同向 反向 a⊥b 0≤θ≤π 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. A.30° B.60° C.120° D.150° √ 二、两向量的数量积 问题2　物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示　W＝|F|·|s|cos θ(θ为F与s的夹角). 1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔ . |a|·|b|cos θ 知识梳理 a·b a·b＝|a||b|cos θ 0 a·b＝0 (3)当a∥b时，a·b＝ |a||b|，a与b同向， －|a||b|，a与b反向. (4)|a·b| |a|·|b|. ≤ 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量. (5)沟通了向量运算与数量之间的关系. 例2　已知正三角形ABC的边长为1，求： 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 0 －16 －16 (2)(教材P18例10改编)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为_____. 三、投影向量 投影 投影 知识梳理 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； 解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)求a在b上的投影向量. 反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 跟踪训练3　已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上