第18讲 立体几何的轨迹问题 讲义——浙江省临安中学2022届高三数学二轮复习专题

第18讲 立体几何中的轨迹问题 一、学习目标 1. 了解圆锥曲线的由来背景； 2. 掌握动点轨迹求法的几种常见类型. 2、 典例分析 例1.（1）如图，定点和都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点 （2）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 【答案】（1）B； （2）A. 变式： 1.在正方体中，点为棱的中点，点在四边形内运动，且总有，则点的轨迹为（ ） A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 【答案】A 2.如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ） A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D 例2．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线 （2）如图，斜线段与平面所成 的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】（1）B； （2）C. 变式： 1.在正方体中，为侧面内的一点，且满足，则动点的轨迹所在的曲线为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】C 补充定理：在空间中，取直线为轴，直线与相交于，夹角为，围绕旋转得到以为顶点，为母线的圆锥，任取平面，若它与轴的交角为（当与平行时，记） 则（1），平面与圆锥的交线为椭圆；（2），平面与圆锥的交线为抛物线； （3），平面与圆锥的交线为双曲线. 例3.（1）已知线段垂直于定圆所在的平面，是圆上的两点，是点在上的射影，当运动时，点运动的轨迹（ ） A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形 （2）已知异面直线，点是直线上的一个定点，过 分别引互相垂直的两个平面，设，为点在上的射影，当变化时，点的轨迹是（ ） A.圆 B.两条相交直线 C.球面 D.抛物线 【答案】（1）A； （2）A. 例4．（1）已知正方形的棱长为1，是对角线上的两点，动点在正方体表面上运动，满足，则动点的轨迹长度的最大值是（ ） A． B． C． D． （2）如图，二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为60°，A，B是1上的两个定点，且AB＝2．C∈α，D∈β，满足AB与平面BCD所成的角为30°，且点A在平面BCD上的射影H在△BCD的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度等于（        ） A． B． C． D． 【答案】（1）B； （2）A. 变式： 1.如图，在长方形中，，为线段上一动点，现将沿折起，使得点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所 形成的轨迹的长度是_________. 【答案】 2.已知直线平面，为垂足，长方体中，，，，，，则的最大值为_______ 【答案】 三、课外作业 1.平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ） A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 【答案】A 2.圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为正方形对角线的交点，动点在圆柱的下底面内（包括圆周），若直线与直线所成角为，则点的轨迹是（ ） A.椭圆的一部分　B．抛物线的一部分　C．双曲线的一部分　D．圆的一部分 【答案】B 3.在三棱锥的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则点的轨迹与组成的图形有可能是（ ） 【答案】D 4.等腰梯形ABCD中，E,F分别是底边AB，CD的中点. 把四边形AFED沿直线 EF折起后所在的平面记为，，设PB，PC与所成的角分别为（均不为0），若，则点P的轨迹是（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 【答案】A 5.