第17讲 立体几何的最值问题 讲义——浙江省临安中学2022届高三数学二轮复习专题

第17讲 立体几何的最值问题 一、学习目标 1. 会将空间问题转化为平面问题； 2. 会用传统法和坐标法处理空间角与距离问题； 3. 体会旋转问题的等价转化. 2、 典例分析 例1.（1）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值是_______. （2）如图1，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，线段的中点，若分别是上的动点，则的最小值是______. 【答案】（1）； （2）B. 变式： 1．在长方体中，，，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 例2.（1）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）如图，在矩形ABCD中，，，点E为AD的中点，将的位置，在翻折过程中，不在平面BCDE内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为__________. 【答案】（1）A， （2）. 变式： 1．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（       ） A．当时，随着的增大而增大B．当时，随着的增大而减小 C．当时，随着的增大而减小D．当时，随着的增大而增大 【答案】D 2.已知平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，如图，若，均是线段的三等分点，点是线段上（包含端点）的动点，则二面角的正弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 例3.（1）如图，在中，，若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是______ （2）矩形ABCD中，AB=1，AD=，现将△ABD绕BD翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，直线和直线CD所成角的余弦值为___________. 【答案】（1）， （2）. 变式： 1.已知直角梯形，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，，两点间的距离是 . 【答案】 例4.（1）如图，三棱锥的底面在平面内，所有棱均相等，是棱的中点，若三棱锥绕棱旋转，设直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． （2）已知正四面体的棱长为2，棱与平面所成的角，且顶点在平面内，点均在平面外，则棱的中点到的距离的取值范围是________. 【答案】（1）A， （2）. 变式： 1.如图，正四面体ABCD的棱CD在平面α上，E为棱BC的中点．当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面α所成最大角的正弦值为_______. 【答案】 2.长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ． 【答案】. 三、课外作业 1．在直三棱柱中，若 ，，，是上一动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，在三棱锥中，平面，，，侧棱与平面所成的角为，为的中点，是侧棱上一动点，当的面积最小时，异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为（ ） A. B C. D. 【答案】B 4．如图，棱长为2的正方体的顶点A在平面上，棱与平面.所成角，点在平面上的射影为O，正方体绕直线旋转,则当与所成角最小时,侧面在平面上的投影面积为（ ） A. B. C. D.2 【答案】D 5．如图，设中，，，，是线段（不包括端点）上一点，将沿翻折至平面，使平面平面，当在平面的射影到平面的距离最大时，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________. 【答案】 7．设正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，、分别是、的中点， 当正四面体ABCD以AB为轴旋转时，则线段EF在平面上的射影的长度的范围是_____________. 【答案】 8．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P