精品解析：江苏省南京市第一中学2022届高三下学期三模考前自主练习数学试题

南京一中2022届高三年级三模考前自主练习 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将个人姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 底面半径为3，表面积为的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 非空集合，，，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 5. 已知，曲线：，抛物线：，抛物线：，且，，有且仅有一个公共点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 6. 已知， ，函数在上增函数，则函数在上为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 非单调函数 D. A、B、C都有可能 7. 柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知， ， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知、，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 10. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为 B. 以PM为直径的圆过定点 C. 的最小值为6 D. 若直线PA与圆M切于点A，则 11. 在中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 12. 在直四棱柱中，，，.（ ） A. 在棱AB上存在点P，使得平面 B. 在棱BC上存在点P，使得平面 C. 若P棱AB上移动，则 D. 棱上存在点P，使得平面 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知为单位向量．若，则____________． 14. 已知且，，，且，则____________． 15. 已知函数，则的最小值为____________． 16. 椭圆：的左、下顶点分别为，，右焦点为，中点为，为坐标原点，交于点，且，，三点共线，则的离心率为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列前20项和． 18. 在正三棱柱中，．D为中点，E为上一点． （1）求四棱锥的体积； （2）若，求三棱锥的体积． 19. 在中，D为上靠近点C的三等分点，且．记的面积为． （1）若，求； （2）求的取值范围． 20. 双曲线：经过点，且渐近线方程为． （1）求的值； （2）若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点． 21. 已知函数． （1）证明：； （2）若，证明：． 22. 设， ，甲、乙、丙三个口袋中分别装有、、个小球，现从甲、乙、丙三个口袋中分别取球，一共取出个球．记从甲口袋中取出的小球个数为． （1）当时，求的分布列； （2）证明：； （3）根据第（2）问中的恒等式，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京一中2022届高三年级三模考前自主练习 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将个人姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 底面半径为3，表面积为的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，进而结合表面积得，进而得圆锥的高，再计算体积即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，因为圆锥的底面半径为3，表面积为 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以，圆锥的体积为. 故选：A 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】