上海市进才中学2021-2022学年高三下学期期中数学试卷

进才中学高三期中数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．集合，，那么______. 2．己知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则______. 3．不等式的解集为______. 4．已知，且，则______. 5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为______. 6．在复数范围内分解因式：______. 7．若将函数表示成，则的值等于______. 8．如图，长方体的边长，，它的外接球是球O，则A、这两点的球面距离等于______. 9．设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为______. 10．设数列是等差数列，其首项，公差，的前n项和为，且对任意，总存在，使得，则______. 11．中，，，O是外接圆圆心，则的最大值为______. 12．定义域为集合上的函数满足：①；②；③、、成等比数列. 这样的不同函数的个数为______. 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13．关于x、y的方程组的系数行列式是该方程组有解的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设l、m是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中的真命题为（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 15．已知直线与圆交于A、B两点，则使弦长为整数的直线l共有（ ）条． A．6 B．7 C．8 D．9 16．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若T、V是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是（ ） A．T、V中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T、V中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T、V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T、V中每一个关于乘法都是封闭的 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点. （1）证明：、、F、E四点共面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18．在中，记（角的单位是弧度制），的面积为S，且，. （1）求x的取值范围； （2）就（1）中x的取值范围，求函数的最大值、最小值. 19．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”. （1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人； （2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众.根据调查，如果票价定为10元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看.如果票价提高元/张，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少.问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人. 20．己知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与有两个交点A、B，线段AB的中点为M. （1）若，点K在椭圆上，，分别为椭圆的两个焦点，求的范围； （2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （3）若l过点，射线OM与交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由. 21．设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入n个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，求； （3）对于（2）中求得的，是否存在正整数m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一。填空题 1.{-2，0，2}2.33．(-∞，0)∪(1，+∞)4.7 5.2\sqrt{5}6.(x-1+i)(x-1-i)7.208.39.[7，+∞) 10.-111.312.155 【第11题】 【详解1】过点O作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为D，E，如图，因O是 ΔABC外接圆圆心，则D，E分别为AC，BC的中点， 在△ABC中，AB=CB-CA，则|AB|^2=CA|^2+|CB^2-2CA·CB，即 CiCB-|Ci^F+|CB^2-2 co .cA-|co|CAs∠OCA=CD|CA=CAF，同理CO-CB=5|cBP， 因此，OC·AB+CA·CB=OC。(CB-CA)+CA·CB=CO·CA-CO·CB