题型十二 综合与实践-【12大常考题型攻克】2022中考数学解答题专项集训

题型十二综合与实践 类型一实践操作型试题 1.问题提出： （1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别E、F，在图1中与线段CE相等的线段是 ； 问题探究： （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且＝2，连接PA，PB，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E、F，求线段CF的长； 问题解决： 如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交于点D，连接AD、BD，过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x(m)，阴影部分的面积为y(m2) ． ①求y关于x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积． 图1 图2 图3 【解析】（1）由“角平分线的性质定理”可知DE＝DF，由“三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形CEDF是矩形，由于DE＝DF，所以矩形CEDF是正方形，所以与线段CE相等的线段有DE、DF、CF； （2）由题意可知∠A＝60°，∠B＝30°，由AB＝8以及30°的直角三角形的各边之间的关系，可以得到AP＝AB＝4，BP＝AP＝4，CE＝AE；设CF＝a，由（1）可知：CF＝CE＝PE＝a，则AE＝4－a，由CE＝AE，可列方程，解得a＝，即CF的长为； （3）第①小问：阴影部分的面积等于△ABC、△APE与△BPF的面积之和．根据题意可知△ABC为等腰直角三角形，其面积为70×35÷2＝1225；将△APE绕点P逆时针旋转90°（如答图所示），发现△APE与△BPF的面积之和等于Rt△BPG的面积，Rt△BPG的面积＝PG·BP÷2＝AP·BP÷2 ＝x(70－x)÷2；所以阴影部分面积＝1225+x(70－x)÷2，化简即可．第②小问，正方形PEDF的面积＝PF2．如答图，在Rt△BPG中，PG＝30，BP＝40，运用勾股定理可求出BG＝50，再运用等积法求出PF的长，从而求出正方形PEDF的面积． 【答案】解:（1）ED、DF、CF； （2）∵AB是直径，＝2，∴∠AOP＝90°，∠B＝30°． 由题意可知，矩形PECF为正方形．在Rt△APB中，PB＝AB·cos30°＝4，AP＝AB＝4． 在Rt△ACE中，CE＝AE．设CF＝a，由（1）可知：CF＝CE＝PE＝a，则AE＝4－a，由CE＝AE，可列方程，解得a＝，即CF的长为． （3）如答图，①∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°． ∵AC＝BC，∴∠ADC＝∠BDC，∴PE＝PF．∴四边形PEDF为正方形． ∴∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°．∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△GPF，PA＝PG，则G、F、B三点共线，△PBG为直角三角形，∠BPG＝90°． ∴． 在Rt△ABC中，AC＝BC＝35,∴＝AC2＝1225． ∴y＝+1225＝． ②当x＝30时，PG＝30，PB＝40．在Rt△PGB中，BG＝50． 运用等积法，有×30×40＝PB·PF∴PF＝24．∴正方形PEDF的面积＝PF2＝242＝576（m2）． ∴当AP＝30m时，室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2． 2.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，求sin∠CAD的值． （2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AB⊥AC，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论． 【拓展提升】在平面直角坐标中，A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°＋∠ABC，设 ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u与t的函数解析式． A B C D D A B C 【解析】（1）由已知四边形为对余四边形，所以∠B与∠D互余，过点A作AE⊥BC，过点C作CF⊥AD，可得△AEB∽△DFC，再求出sin∠CAD的值．（2）过点D作DM⊥CD，使CD＝CM，连接CM，则CM2＝2CD2,由已知2CD2＋CB2＝C