题型十一 反比函数与几何图形的综合问题-【12大常考题型攻克】2022中考数学解答题专项集训

题型十一反比函数与几何图形的综合问题 1．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值 【答案】（1）一次函数y=，（2）． 【分析】 （1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可． 【详解】 解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)， ∴m=6, ∴6n=6， ∴n=1， ∴B（6,1） 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点， ∴， 解得， 一次函数y=， （2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=， 当y=0时，，，当x=0时，y=-4， ∴M（-8，0），N（0，-4）， ， 消去y得， 解得， 解得，， ∴P(-6,-1),Q(-2,-3), 在Rt△MON中， ∴MN=, ∴PQ=， ∴． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键． 2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，． （1）求k的值； （2）求直线MN的解析式． 【答案】（1）6；（2） 【分析】 （1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值； （2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式． 【详解】 解：（1）设点A坐标为（m，n）， ∵∠ABO=90°， ∴B（m，0），又AN=， ∴N（m，）， ∵△AOB的面积为12， ∴，即， ∵M为OA中点， ∴M（，）， ∵M和N在反比例函数图像上， ∴，化简可得：，又， ∴，解得：， ∴， ∴M（2，3），代入， 得； （2）由（1）可得：M（2，3），N（4，）， 设直线MN的表达式为y=ax+b， 则，解得：， ∴直线MN的表达式为． 【点睛】 本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键． 3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0） 【分析】 （1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式； （2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可． 【详解】 解：（1）由题意可得： 点B（3，-2）在反比例函数图像上， ∴，则m=-6， ∴反比例函数的解析式为， 将A（-1，n）代入， 得：，即A（-1，6）， 将A，B代入一次函数解析式中，得 ，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）∵点P在x轴上， 设点P的坐标为（a，0）， ∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2， ∴直线AB与x轴交于点（2，0）， 由△ABP的面积为4，可得： ，即， 解得：a=1或a=3， ∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 【点睛】 本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和． 4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4 （1）求的值； （2）当点的横坐标为时，求的面积． 【答案】（1）-6；（2）8 【分析】 （1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值． （2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解． 【详解】 （1）过作垂直于轴，垂足为， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，． ∴，，即． （2）由（1）知，∴． ∵，∴，∴，． 设直线的解析式