题型十 二次函数与几何图形综合题-【12大常考题型攻克】2022中考数学解答题专项集训

题型十二次函数与几何图形综合题 类型一二次函数与三角形的判定 1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B. (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【解析】解：(1)依题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)． 设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得， 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x＋3. (2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接MA， ∴MA＝MB， ∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC. ∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点． 把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2. ∴M(－1，2)． (3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18， PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10. 若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10， 解得t＝－2； ②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4； ③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18， 解得t1＝，t2＝. 综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)． 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)，直线x＝1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点P为直线x＝1右方抛物线上的一点(点P不与点B重合)，记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标； (3)点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)∵点A与点B关于直线x＝1对称， ∴B(3，0)， 设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 把C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3， ∵y＝(x－1)2－4， ∴抛物线顶点D的坐标为(1，－4)． (2)设P(m，m2－2m－3)，易得直线BC的解析式为y＝x－3， 当x＝1时，y＝1－3＝－2，则E(1，－2)， ∴S△BDC＝S△BDE＋S△CDE＝×2×(1＋2)＝3， 当点P在x轴上方时，即m>3，如解图①， ① ② ③ S＝S△CAB＋S△PAB＝×3×(3＋1)＋×(3＋1)×(m2－2m－3)＝2m2－4m， ∵S＝S△BCD， ∴2m2－4m＝， 整理得4m2－8m－15＝0，解得m1＝，m2＝(舍去)， ∴P点坐标为(，)； 当点P在x轴下方时，即1<m<3，如解图②，连接OP， S＝S△AOC＋S△COP＋S△POB＝×3×1＋×3×m＋×3×(－m2＋2m＋3)＝－m2＋m＋6， ∵S＝S△BCD， ∴－m2＋m＋6＝， 整理得m2－3m＋1＝0，解得m1＝，m2＝(舍去)， ∴P点坐标为(，)， 综上所述，P点坐标为(，)或(，)． (3)存在．直线x＝1交x轴于点F，BD＝＝2， ①如解图③，EQ⊥DB于点Q，△DEQ沿EQ翻折得到△D′EQ， ∵∠EDQ＝∠BDF， ∴Rt△DEQ∽Rt△DBF， ∴＝，即＝，解得DQ＝， ∴BQ＝BD－DQ＝2－＝； ②如解图④，ED′⊥BD于H， ∵∠EDH＝∠BDF， ∴Rt△DEH∽Rt△DBF， ∴＝＝，即＝＝， 解得DH＝，EH＝， 在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH－HQ＝－x，D′H＝D′E－EH＝DE－EH＝2－， ∴x2＋(2－)2＝(－x)2，解得x＝1－， ∴BQ＝BD－DQ＝BD－(DH－HQ)＝BD－DH＋HQ＝2－＋1－＝＋1； ③如解图⑤，D′Q⊥BC于点G，作EI⊥BD于点I，由①得EI＝，BI＝， ④ ⑤ ∵△DEQ沿边EQ翻