题型九 圆的综合题-【12大常考题型攻克】2022中考数学解答题专项集训

题型九圆的综合题 1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【分析】 （1）过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切； （2）先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出阴影部分面积． 【详解】 解：（1）过点B作BF⊥CD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵CB=CD， ∴∠CBD=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°， ∴△ABD≌△FBD（AAS）， ∴BF=BA，则点F在圆B上， ∴CD与圆B相切； （2）∵∠BCD=60°，CB=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD=60° ∵BF⊥CD， ∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°， ∴∠ABF=60°， ∵AB=BF=， ∴AD=DF==2， ∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE = =． 【点睛】 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线． 2．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：； （2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：（1）证明：如图，连结． 与相切，． 是圆的直径，． ． ． ． ． （2）由（1）可知，， ， ，， 是等边三角形． , ， ． 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质. 3．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求弧的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可； （2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可． 【详解】 （1）证明：连接 ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵点在上 ∴是的切线； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键． 4．（2021·四川达州市·中考真题）如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OCAE，从而求出∠ECO=90°，问题得证； （2）连接，过点作于点，证明四边形OCEG为矩形，求出，，，进而求出，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】 解：（1）如图，连接OC， ∵， ∴∠CDA=90°， ∵翻折得到， ∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°， ∴∠EAD=2∠DAC， ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA ∴∠COD=2∠OAC， ∴∠COD=∠EAD， ∴OCAE， ∴∠ECO=180°-∠E=90°， ∴OC⊥EC， ∴是的切线； （2）如图，连接，过点作于点， ∵∠E=∠ECO=90°， ∴四边形OCEG为矩形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵于点，OA=OF=2， ∴，∠FAO=∠AFO=30°， ∵OCAE， ∴∠COF=∠AFO=30°， ∴矩形OCEG面积为， △OGF面积为， 扇形COF面积为 ∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积=． 【点睛】 本题为圆的综合题，考查