上海市某校2021-2022学年高三下学期期中考试数学试题

2021-2022 年交大附中高三下期中 一、填空题 1.已知集合 {1,2,3,4}, { | 3 2, }A B y y x x A     ，则 A B  ． 2.将循环小数 0.63   化为最简分数为 ． 3.等差数列 na 的前 9项和为 18，第 9项为 18，则 na 的通项公式为 ． 4.已知单位向量 ,a b  的夹角为 ，若 , 3 2        ，则 | |a b  的取值范围是 ． 5.二项展开式 612x x      的常数项的值为 ． 6.设函数 cos 3 4 y x       的图像与 12 xy  的图像交点的横坐标从小到大依次记为 1 2 3, , ,x x x ，则 1lim n nn x x   ． 7.圆C的圆心C在抛物线 2 2y x 上，且圆C与 y轴相切于点 A，与 x轴相交于 P、 Q两点，若 9OC OA    (O为坐标原点)，则 | |PQ  ． 8.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ． 9.已知直线 : 2 10l y x  与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的一条渐近线平行，且经 过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ． 10.如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相 邻的三个顶点与水平基座的距离分别是 2,3,4，则正方体的 8个顶点中与水平基座距 离的最大值为 ． 11.若函数  3( ) log ( 0, 1)af x x ax a a    在区间 1 ,02      内单调递增，则 a的取值范围 是 ． 12.如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第 四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；， 这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线.设第 n条线段与第 1n  条线段所 夹的角为  * , (0, )n nn N    ，则 2022  ． 二、选择题 13.设  na 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则“ 0q  ”是“对任意的 * 2 1 2, 0n nn N a a   ”的 ( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分又非必要条件 14.以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程 1 0 1 2 1 0 3 1 x y  的一个法向量的是 ( ) A． ( 3, 2)n    B． (2,3)n  C． ( 2,3)n   D． ( 3,2)n   15.下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是 ( ) ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 16.对于直角坐标平面内的任意两点 1 1( ),A x y 、 2 2( ),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1 2 1 2| | | |‖ ‖   AB x x y y ．给出下列三个命题： ①若点C在线段 AB上，则‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ AC CB AB ； ②在ABC中，若 90  C ，则 2 2 2‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ AC CB AB ； ③在ABC中，‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ AC CB AB ． 其中真命题的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17.如图，正方形 ABCD的边长为 2， ,E F分别是边 AB及 BC的中点，将 AED 、 BEF 及 DCF 折起，使 A、C、 B点重合于 1A 点. （1）求三棱锥 1A EFD的体积； （2）求 1AD与平面DEF 所成角的正切值. 18.已知虚数 z icosa   ，其中 , ,ia R  为虚数单位. （1）若对任意 R  ，均有 | z 2 i | 3   ，求实数 a的取值范围. （2）若 2z,z 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求 ,a  的值. 19.“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强. 如图：一个运动员从起滑门点 A出发，沿着助滑道曲线 2 2( ) ( 0)f x b