上海市七宝中学2021-2022学年高三下学期中考试数学试卷

1 一、填空题 1．已知集合 A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则 A∪B＝ [1，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中 i 为虚数单位，则复数 z在复平面内对应的点位于第 一 象限 3．若圆锥的底面半径为 2 3，高为 6， 则该圆锥的侧面积为 24 4．已知 12 n x x      展开式的二项式系数之和为32，则展开式中 x的系数为 80 （用数 字作答） 5．实数 a，b满足 lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则 ab的最小值为 8 ． 6．设 ( 1, 2,3)ia i  均为实数，若集合 1 2 3, ,a a a 的所有非空真子集的元素之和为 12，则 1 2 3a a a   4 7. 已知函数 1 cos , [ , ]y x x       (其中 为常数，且 0  )有且仅有 3 个零点，则 的最小值为 2 8．2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和 丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有 4 个“冰墩墩”吉祥物和 3 个“雪容融” 吉祥物一字排开，则“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列的概率为 1 35 ．（用最简分 数作答） 9．设 AM 为 ABC 中 BC边上的中线，且 AP PM   .若 , 2 3 BAC BC   ，则PB PC   的最大值为 1 4  10．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1－x) ＋ f(1＋x)＝2，当 x∈ [0，1]时， f(x)＝2x－x2．若 f(x) ≥x＋b对一切 x∈R 恒成立，则实数 b的最大值为 1 4  11．若抛物线 2y x ax b   与坐标轴分别交于三个不同的点 , ,A B C，则 ABC 的外接圆 恒过的定点坐标为 （0，1） 12．已知函数 2 1( ) 2 16 f x x  ，正数数列 na 满足 1= ( )n na f a ，若对任意正整数 n， 不等式 2 1 1n n n na a a a     都成立，则实数的最小值为 2 . 七宝中学2021-2022学年第二学期高三年级期中考数学试卷参考答案 2022.04.21 2 二､选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 设 x R ，则“ 2 1x   ”是“ 2 2 0x x   ”的 （ A ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了 某地区新冠肺炎累计确诊病例数 ( )I t ( t的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23( 50)( ) 1 t KI t e    ， 其中K为最大确诊病例数.当   0.95I t K  时，标志着已初步遏制疫情，则 t  约为（ C ） A. 59 B. 61 C. 63 D. 65 15. 已知抛物线 y2＝4x的焦点为 F，过原点 O的动直线 l交抛物线于另一点 P，交抛物线的 准线于点 Q，下列说法正确的是（ D ） A．若 O为线段 PQ中点，则 PF＝1 B．若 PF＝4，则 OP＝2 5 C．存在直线 l，使得 PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为 2 16. 在平面直角坐标系中，函数 1 1 xy x    的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横 坐标之和为 0，则这条直线必过定点（ A ） A． 1 ,0 2      B．  1 0 ， C．  1 ，-1 D．  1,1 三､解答题(本大题共 5 大题．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17．(本大题满分 14 分) 在平面四边形 ABCD中，已知∠ABC＝2π 3 ，∠ADC＝π 6 ，AC平分∠BAD． （1）若∠BAD＝π 3 ，AC＝2，求四边形 ABCD的面积； （2）若 CD＝2 3AB，求 tan∠BAC的值． 解：（1）因为∠BAD＝π 3 ，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝π 6 ． 在△ABC中，因为∠ABC＝2π 3 ，所以∠ACB＝π 6 ， 又因为 AC＝2，由 AC sin∠ABC ＝ AB sin∠ACB ，得 AB＝2 3 3 ， 所以 S△ABC＝ 1 2 AB·ACsin∠BAC＝ 3 3 ． 在△ACD中，因为∠ADC＝∠CAD＝π 6 ，所以 CA＝CD＝2， 3 所以 S△ACD＝ 1 2 CA·CDsin∠A