第15讲 三余弦定理、三正弦定理 讲义——浙江省临安中学2021-2022学年高三数学二轮复习专题

第16讲 三余弦定理与三正弦定理 一、学习目标 1.了解三余弦定理和三正弦定理； 2.了解最小角定理和最大角定理； 3.掌握三余弦定理、三正弦定理、最小角定理、最大角定在立体几何中的初步应用. 二、知识要点 1.三余弦定理： 设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则 说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理. 2.三正弦定理： 设二面角的度数为，在平面上上有一条射线，它和棱所成角 为，和平面所成角为，则 说明：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值. 3、 典例分析 例1.（1）已知二面角的大小为，直线，，则直线与平面所成的线面角的正弦值为_______. （2）如图，三棱锥中，，，点、分别是、的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是_________. 【答案】（1）； （2）. 例2.（1）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点.记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D.不能确定 （2）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A., B., C., D., 【答案】（1）C； （2）B. 变式: 1.如图，已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与 平面所成的角是，直线与所成的角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 例3.（1）已知等腰内接于圆，点是下半圆弧上的动点，现将上半圆沿折起，使所成的二面角为，则直线与直线所成角的最小值为（ ） A. B. C. D. （2）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是_______（仰角是直线与平面所成的角）. 【答案】（1）C， （2）. 变式： 1.已知棱长为1的正四面体，的中点为，动点在线段上， 记直线与平面所成的角为，则当最大时，________. 【答案】 4、 课外作业 1.在四面体中，二面角为60°，点为直线上一动点，记直线与平面所成的角为θ，则（　　） A．θ的最大值为60° B．θ的最小值为60° C．θ的最大值为30° D．θ的最小值为30° 【答案】A 2.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3．如图，在矩形ABCD中，将△ACD沿AC翻折至，设直线与直线BC所成角为α，直线与平面ABC所成角为β，二面角的平面角为γ，当γ为锐角时（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4.如图，已知，为的角平分线，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5. 如图，在中，，，为底边上的动点，，，沿折痕把折成直二面角，则的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6.如图，在正三棱柱中，是的中点，，求二面角的大小为________. 【答案】 7.如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为______. 【答案】 9.已知为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与 都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： ①直线与成角时，与成角； ②直线与成角时，与成角； ③直线与所成角的最小值为角； ④直线与所成角的最小值为角. 其中，正确的结论有___________. 【答案】②③ 10.如图，正方形与正方形所成的二面角的平面角大小为，是正方形所在平面内的一条动直线，则直线与所成角的取值范围是___________. 【答案】 11.如图，在三棱锥中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）略； （2）. 12.已知的两直角边，，为斜边上一点，现沿将此直角三角形折成直二面