第17讲-一次函数与四边形综合-【同步优课】2021-2022学年八年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第17讲-一次函数与四边形综合 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系． （此环节设计时间在10-15分钟） 教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。 1． 已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________； 参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）； 2．已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则D的坐标为 ． 参考答案：； （此环节设计时间在50-60分钟） 例题1：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，点A的坐标为（0，1），点D在轴上，经过点B的直线与AC相交于横坐标为2的点E． E A O x y B C D （1）求直线AC的表达式； （2）求点B、C、D的坐标． 参考答案：（1）∵点直线经过横坐标为2的点E，∴E（2，2）． 由点A（0，1）,设直线AC的表达式为， ∴；∴直线AC的表达式为． （2）设点C的坐标为（）， ∵在菱形ABCD中，BC//AD，∴点B的坐标为（）． ∵BA＝BC，∴； ∴． ∴． ∴点B、C的坐标分别为（）、（）． ∵AD＝BC＝15，∴OD＝16，∴D（0，16）． 例题2：已知：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B。点C的坐标为（0，—2），线段AB上有一动点P，过点C、P作直线l。 （1）如图，当PB＝PC时，求点P的坐标； （2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内是否存在这样的点Q，使以P、B、C、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案： （1）作PH⊥y轴，∵PB＝PC ∴H为BC中点； ∴H（0，2） ∴点P的坐标 （2），， 例题3：已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B．梯形AOBC的边AC = 5． （1）求点C的坐标； （2）如果点A、C在一次函数（k、b为常数，且k<0）的图像上，求这个一次函数的解析式． 参考答案： （1）A（8，0），B（0，4）． 在梯形AOBC中，OA=8，OC=4，AC=5． 当AC//OB时，点C的坐标为（8，5）． 当BC//OA时，设点C（x,4）． ∴ 这时点C的坐标为（5，4）或（11，4）． ∴点C的坐标为（8，5）或（5，4）或（11，4）． （2）∵点A、C在一次函数（k<0）的图象上， ∴点（8，5）与（11，4）都不符合题意，只有当C为（5，4）时，k<0． ∴ ∴ ∴这个一次函数的解析式为． ※例题4：在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝OC＝6，分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，D、F分别为线段OC，x轴上的点，OD＝5，OF＝10，直线DF交OB于点E． （1）求直线DE的解析式并求出E点坐标； （2）点M是（1）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案：（1）直线DE的解析式为，点E的坐标为（2，4） （2）存在 ①如图1，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时 设M点坐标为， ∴∴（正舍） ∴点M的坐标为 又∵MN∥x轴； ∴点N的坐标为 ②如图2，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时， 延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴. ∵点M在直线上，∴设M点坐标为 在Rt△OPM中， ∴，解得（舍去）， ∴点M的坐标为（4，3） ∴点N的坐标为（4，8） ③如图3，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形. 联结NM交OD于点P则NM与OD互相垂直平分， ∴∴ ∴∴ ∴点N的坐标为 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为 1．（2022·上海市徐汇中学八年级期中）下列命题中真命题是（        ） A．平行四边形是轴对称图形 B．方程是二元二次方程 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 D．当时，关于的方程有两个实数解 【答案】D 【解析】 【详解】 解：A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B．不是整式，所以不是二元二次方程，故不符合题意； C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故不符合题意； D．，因为，所以是正数，根据平方根的定义，有两个实数解，故符合题意； 故选：D．