第15讲-三角形、梯形的中位线-【同步优课】2021-2022学年八年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第15讲-三角形、梯形的中位线 1．理解三角形、梯形的中位线概念； 2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证； 3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明． 1．三角形中位线定理： ； 2．梯形中位线定理： ． 练习： 1．已知梯形的中位线长为9cm，上底长5cm，那么下底的长是 cm； 2．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则其面积为 cm²； 3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(a<b)的比是（　 　） A、 B、 C、 D、 4．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______． 例题1：在梯形ABCD中，EF分别是对角线BD和AC的中点，求证： 试一试：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底的差是8，两 腰和是12，求△EFG的周长。 例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH．这个中点四边形EFGH的形状为 ；说明理由． 问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？ 总结一下，完成下表： 基础图形 顺次联结其各边中点所得的四边形 （在图中画出并指出四边形类型） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 例题3：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC内，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 例题4：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，对角线AC、BD的交点O，∠AOB＝60°，又S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点． 求证：△SPQ是等边三角形． ※例题5：如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过 MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 1．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在等腰梯形中，ABCD，对角线，，BC=2cm，则梯形的周长为（       ） A． B．6cm C． D．10cm 2．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知四边形中，，下列判断中的正确是（       ） A．如果，那么四边形是等腰梯形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是正方形 3．（2021·上海市民办扬波中学八年级期中）用长为1cm、4cm、4cm、5cm的线段为边作梯形，其中面积最小的那个梯形的两条对角线长度之和等于______cm． 4．（2021·上海宝山·八年级期末）如图，已知中，，垂足为点H，点M、N分别是、的中点．联结．如果，那么的度数是________． 5．（2022·上海·八年级专题练习）已知线段，．是上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为___． 6．（2018·上海宝山·八年级期末）如图，在中，，点分别是的中点，则=_________． 7．（2021·上海·上外附中八年级期末）如图，梯形的对角线将中位线EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，则GH＝___． 8．（2021·上海青浦·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，且． （1）求点的坐标； （2）在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2020·上海市文来中学八年级期中）已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长． 10．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）如图，AD∥BC，点E是AB的中点，联结DE