专题九 几何综合题-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

专题九 几何综合题 类型一 动点问题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连接CF （1）若AE＝BC ①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值； （2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形． 【答案】（1） ① 略 ②12③．（2）当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形． 【解答】解：（1）①如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF． ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°． ∴∠B＝∠AFD＝90°， 又∵AE＝BC， ∴AE＝AD， ∴△ABE≌△DFA（AAS）． ②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°， 根据勾股定理，得 BE＝＝＝3， ∵△ABE≌△DFA， ∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3． ∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2， ∴四边形CDFE的周长＝2（DC+EC）＝2×（4+2）＝12． ③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M． ∴sin∠AEB＝＝，cos∠AEB＝＝， 在Rt△FME中，FM＝EF＝，ME＝EF＝， ∴MC＝ME+EC＝+2＝， 在Rt△FMC中，tan∠FCE＝＝． （2）如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4． ∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△DFA（AAS）． ∴AE＝AD＝5， 由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…（11分） 如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G， 则CG∥AE，DH＝FH． ∴AG＝GD＝2.5． ∵CG∥AE，AG∥EC， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…（13分） 如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FG⊥DC，垂足为点G． 则AD∥FG∥BC，DG＝CG， ∴AF＝FE＝AE． ∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF， ∴△ABE∽△DFA， ∴＝，即AD×BE＝AF×AE． 设BE＝x， ∴5x＝×， 解得x1＝2，x2＝8（不符合题意，舍去） ∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形． 综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形． 2．如图1，在正方形ABCD中，边长为2a，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：AF＝BE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DG＝2a； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值． 【答案】（1） 略（2） 略（3） 【解答】解：（1）∵BF⊥CE， ∴∠CGB＝90°， ∴∠GCB+∠CBG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠CBE＝90°，BC＝AB， ∴∠FBA+∠CBG＝90°， ∴∠GCB＝∠FBA， ∴△ABF≌△BCE（ASA）， ∴AF＝BE； （2）如图2，过点D作DH⊥CE于H， 由题意得：AB＝CD＝BC＝2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA＝EB＝AB＝a， ∴CE＝a， 在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB， ∴BG＝a， ∴CG＝＝a， ∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠CBF， ∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°， ∴△CHD≌△BGC（AAS）， ∴CH＝BG＝a， ∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH， ∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°， ∴△DGH≌△DCH（SAS）， ∴DG＝CD＝2a； （3）如图3，过点D作DQ⊥CE于Q， ∵CM⊥DG于点H， ∴∠CHD＝∠CHG＝∠CQD＝90°， S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG， ∴CH＝＝a， 在Rt△CHD中，CD＝2a， ∴DH＝＝a， ∵∠DCH＝∠MCD，∠CHD＝∠CDM＝90°， ∴△CHD∽△CDM， ∴＝， ∴CM＝＝＝a， ∵∠CHG＝∠CGN＝90°，∠GCH＝∠NCG， ∴△GCH∽△NCG， ∴＝， ∴CN＝＝＝2a， ∴MN＝CM﹣CN＝a﹣2a＝a， ∴＝＝． 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒． （1）求证：CE＝EF； （2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （3）求△BEF面