专题十一 二次函数综合-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

专题十一 二次函数综合 类型一 线段问题 1．如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C． （1）求a，m的值和点C的坐标； （2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a＝﹣，C（3，0），m＝2 （2）P坐标为（﹣，0）或（﹣，0）． （3）﹣或﹣9． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）， ∴5＝﹣20a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+6）， 令y＝0，则﹣（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6， ∴C（3，0）， 当x＝﹣5时，y＝﹣×（﹣8）×1＝2， ∴B（﹣5，2）， ∴m＝2． （2）设P（t，0），则有＝， 整理得，21t2+242t+621＝0， 解得t＝﹣或﹣， 经检验t＝﹣或﹣是方程的解， ∴满足条件的点P坐标为（﹣，0）或（﹣，0）． （3）存在．连接AB，设AB的中点为T． ①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件． ∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB， ∴T（﹣3，）， ∵C（3，0）， ∴直线CT的解析式为y＝﹣x+， 由，解得（即点C）或， ∴M（﹣，）， ②CM′∥AB时，满足条件， ∵直线AB的解析式为y＝x+， ∴直线CM′的解析式为y＝x﹣， 由，解得（即点C）或， ∴M′（﹣9，﹣9）， 综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣或﹣9． 2．抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在线段BC上． ①把点D绕点A逆时针方向旋转90°，恰好落在y轴正半轴的点E处，求点E的坐标； ②若点M在抛物线上，△ADM是以AD为斜边的等腰直角三角形，求点D的坐标． （3）如图2，若点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O于点H，求HQ的值． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4． （2）E（0，4），D（4﹣，﹣）．（3）2 【解答】解：（1）将（﹣2，0），（4，0）代入解析式y＝ax2+bx﹣4， ，解得，， ∴y＝x2﹣x﹣4． （2）①如图1，作DF⊥AB． ∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠EAF＝∠ADF， ∵AE＝AD，∠AOE＝∠AFD＝90°， ∴△AOE≌△DFA（AAS）， ∴AO＝DF＝2， ∵BF＝DF＝2， ∴AF＝4＝OE， ∴E（0，4）． ②将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AT，取DT的中点M，连接AM，则△ADM是等腰直角三角形． ∵C（0，﹣4），B（4，0）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣4， 设D（m，m﹣4），则T（m﹣6，﹣m﹣2）， ∵TM＝DM， ∴M（m﹣3，﹣3）， 当点M落在抛物线上时，﹣3＝（m﹣3）2﹣（m﹣3）﹣4， 解得m＝4+（舍弃）或4﹣， ∴D（4﹣，﹣）． （3）如图，连接PA，BH．设P（m，m2﹣m﹣4）． ∵PQ⊥AB， ∴Q（m，0）， ∴QA＝m+2，BQ＝4﹣m，PQ＝﹣m2+m+4， ∵∠AQP＝∠BQH，∠PAQ＝∠H， ∴△AQP∽△HQB， ∴＝， ∴＝， ∴HQ＝＝2． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB． （1）求该抛物线的解析式； （2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN． ①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标； ②是否存在点P，使得PQ＝NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣+x+4 (2) P的坐标为（1，2）或（﹣，2）．P（，2） 【解答】解：（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得：，解得；b＝，c＝4． ∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+4． （2）①如图1所示： ∵令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴C（﹣1，0）． ∴BC＝4，AB＝＝5． ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴DE∥BC． ∴＝1． ∴PQ＝DO＝2． ∵PQ⊥BC，QN⊥AB， ∴∠PQN+∠NQB＝90°，∠NQB+∠QBN＝90°． ∴∠PQN＝∠QBN． ∴当或时，△PQN与△ABC相似． ∵当时，，解得；QN＝． ∵＝， ∴QB＝QN＝×＝2． ∴OQ＝3﹣2＝1． ∴点P的坐标为（1，2）． 当时，，解得；QN＝2.5． ∵＝， ∴QB＝QN＝×＝． ∴OB﹣B