专题七 抛物线问题-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

专题七 抛物线问题 1．如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ （3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？ 【答案】（1）y＝﹣0.2x2+3.5． （2）0.2m． （3）乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球． 【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， 因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5， 则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m． （3）由题意可得出：y＝3.3， 则3.3＝﹣0.2x2+3.5 解得：x1＝1，x2＝﹣1， ∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m） ∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球． 2．如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求出大孔抛物线的解析式； （2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？ （3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF． 【答案】（1）y＝﹣x2+6 （2）能 （3）米． 【解答】解：（1）设大孔抛物线的解析式为y＝ax2+6，把点A（﹣5，0）代入得： 25a+6＝0， 解得a＝﹣， ∴大孔抛物线的解析式为y＝﹣x2+6； （2）当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×22+6＝， ∵﹣4.5＝＞0.5， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3）由NC＝4m，可知点F的纵坐标为4，代入解析式y＝﹣x2+6得： ﹣x2+6＝4， 解得：x＝±， 由抛物线对称性可知点E为（﹣，4），点F为（，4）， ∴EF＝（米）． 答：大孔的水面宽度EF为米． 3．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？ （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1）当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm （2）a＝b或a+b＝20 （3）18cm 【解答】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h）， ∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400， ∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2， ∴当h＝10cm时，s有最大值20cm． ∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm； （2）∵s2＝4h（20﹣h）， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a（20﹣a）＝4b（20﹣b）， ∴20a﹣a2＝20b﹣b2， ∴a2﹣b2＝20a﹣20b， ∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b）， ∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0， ∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0， ∴a＝b或a+b＝20； （3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4+（20+m）2， ∴当h＝cm时，smax＝20+m＝20+16， ∴m＝16cm，此时h＝＝18cm． 当h＝＞20时