专题八 与圆有关的证明及计算-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

专题八 与圆有关的证明及计算 类型一 与圆的基本有关的证明及计算 1．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D为的中点，连接AD，作DE⊥AB交BC的延长线于点E． （1）求证：DE＝EB． （2）连接DO并延长交BC于点F．若CF＝2CE，BD＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1） 略（2） 【解答】（1）证明：∵点D为的中点， ∴＝， ∴∠DBC＝∠A， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠A+∠DBA＝∠EDB+∠DBA＝90°， ∴∠A＝∠EDB， ∴∠DBC＝∠EDB， ∴DE＝EB； （2）如图： ∵D为的中点， ∴DF⊥BC，CF＝BF， ∵CF＝2CE， 设CE＝x，CF＝BF＝2x，则DE＝EB＝5x，DF＝4x， 在Rt△DFB中， DF2+BF2＝BD2， 即4x2+2x2＝52，解得：x＝， ∴BF＝，DF＝2，， ∵∠A＝∠EDB＝∠DBF， ∴sinA＝sin， ∴， ∴． 答：半径是． 2．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，延长DC至点E，AC∥BE． （1）求证：∠A＝∠E； （2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长． 【答案】（1） 略 (2) 【解答】（1）证明： ∵AC∥BE， ∴∠E＝∠ACD， ∵D，C为的三等分点， ∴＝＝， ∴∠ACD＝∠A， ∴∠E＝∠A， （2）解：由（1）知＝＝， ∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E， ∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED， ∴＝，即， 解得DE＝， ∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝． 3．如图，AB为⊙O的直径，弦CE，CF与AB分别交于点D，点G，若AD＝AE，点F是的中点． （1）求证：点G为FC中点； （2）若tan∠F＝，求的值． 【答案】（1）略 （2）． 【解答】（1）证明：∵点F是的中点， ∴＝， ∴∠EAF＝∠BAF＝∠C， ∵AE＝AD， ∴AH⊥ED， ∴∠AHD＝90°， ∵∠ADH＝∠CDG， ∴∠CGD＝∠AHD＝90°， ∴AB⊥CF， ∵AB为⊙O的直径， ∴点G为FC中点； （2）解：连接DF， ∵AB⊥CF，G是CF的中点， ∴DF＝CD， 设CD＝a，则DF＝a， Rt△CHF中，tan∠AFC＝＝， 设CH＝4x，FH＝3x，则DH＝4x﹣a， Rt△DHF中，DH2+FH2＝DF2， ∴（3x）2+（4x﹣a）2＝a2， 解得：x1＝0，x2＝， ∴a＝x， ∴＝＝． 类型二 与切线性质有关的证明及计算 4．如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点． （1）求证：AF＝AE； （2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长． 【答案】（1） 略（2） ． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， ∴∠F+∠DAF＝90°， ∵AF是⊙O的切线， ∴∠FAB＝90°， ∴∠F+∠ABF＝90°， ∴∠DAF＝∠ABF， ∵＝， ∴∠ABF＝∠CAD， ∴∠DAF＝∠CAD， ∴∠F＝∠AEF， ∴AF＝AE； （2）解：∵AB是⊙O直径， ∴∠C＝90°， ∵AB＝8，BC＝2， ∴AC＝＝＝2， ∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F， ∴△BCE∽△BAF， ∴＝，即＝， ∴CE＝AF， ∵AF＝AE， ∴CE＝AE， ∵AE+CE＝AC＝2， ∴AE＝， ∴AF＝AE＝． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且点D是的中点，AD与BC交于点E，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC、BD． （1）求证：∠BDF＝∠BAD； （2）若AB＝5，BD＝3，求DE的长． 【答案】（1）略 （2）． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵FD是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥FD， ∴∠ODB+∠BDF＝90°， ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∴∠ADO＝∠BDF， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠BDF＝∠BAD； （2）在Rt△ADB中，AB＝5，BD＝3， ∴AD＝， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠EBD＝∠BAD， ∵∠EDB＝∠BDA， ∴△EDB∽△BDA， ∴DB：DA＝DE：DB， 即3：4＝DE：3， 解得DE＝． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE． （1）求证：AE平分∠BAC； （2）若∠B＝30°，求的值． 【答案】（1）略 （2） 【解答】（1）证明：连接OE， ∵BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴OE∥AC， ∴∠OEA＝