4.4&4.5用尺规作三角形、用三角形全等测距离（精讲）-【重要笔记】2021-2022学年七年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

4.4&4.5用尺规作三角形、用三角形全等测距离 尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 常见基本作图 常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形. 注意：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 题型1：基础尺规作图 1.作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b． （要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法） 已知： 求作： 结论： 【解析】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段． 【答案】 解：已知：线段a、b， 求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b． 【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去． 【变式1-1】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　） 　 A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B． 以点C为圆心，DM为半径的弧 　 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D． 以点E为圆心，DM为半径的弧 【答案】D． 【变式1-2】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，∠α、∠β． 求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β． 【解析】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求． 【答案】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分． 【总结】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用． 已知两边及其夹角作三角形 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件"边角边"来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶ 题型2：已知两边及夹角做三角形 2.已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹） 已知： 求作： 【解析】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解． 【答案】 解：已知：∠α，线段a，b， 求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b， 如图所示，△ABC即为所求作的三角形． 【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握． 【变式2-1】如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【分析】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求． 【答案】 解：如图， △ABC为所求作的直角三角形． 【总结】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 已知两角及其夹边作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶ 题型3：已知两角及夹边做三角形 3.已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β． 【分析】首先作BC=a，再以B为顶点，BC为边作∠B=∠α，再以C为顶点，BC为边作∠C=∠β，即可得到△ABC． 【解答】解：如图所示，△ABC即为所求． 【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 【变式3-1】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法） 已知： 求作： 结论： 【答案】 解：已知：∠α，线段b； 求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b． 结论：如图，△ABC为所求． 已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件"边边边"来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶ 题型4：已知三边做三角形 4.已知线段a、b、c，如图，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】先在射线AD上截取AC=b，再分别以点A、C为圆心，c和a为半径画弧，两弧相交于点B，然后连接