《3.4.用尺规作三角形、3.5利用三角形全等测距离》讲义—2023-2024学年北师大版数学七年级下册

第三章 三角形《4.用尺规作三角形、5利用三角形全等测距离》同步练习与讲义—北师大版七年级下学期 1．作一条线段等于已知线段． 已知：如图，线段a ． 求作：线段AB，使AB = a ． 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a ．则线段AB就是所求作的图形． 2．求作一个角等于已知角． 求作一个角等于已知角∠MON．（SSS） （1）作射线； （2）在图（1）上，以O为圆心，恰当的长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B； （3）以为圆心，OA的长为半径作弧，交于点C； （4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D； （5）过点D作射线．则∠就是所要求作的角． 3.尺规作角平分线 1.作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要熟练掌握. 2.尺规作角平分线方法（重要） 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 例题讲解 一、尺规作图 【例1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】如图，已知，用尺规作图如下： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点 ②以点为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点 ③作射线 那么下列角的关系不正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练2】用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点C;③作射线OC. 则射线OC为的平分线,由上述作法可得的依据是(  ) A． SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【变式训练3】如图，以∠AOB的顶点O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分别以点C、D为圆心，大于CD/2的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P，作射线OP，则下列说法错误的是（ ） A. ≌ B. C. D. 【变式训练4】 使用直尺和圆规，作出，此作图的依据为（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【变式训练5】用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是　 　（用字母写出）． 【变式训练6】如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是　 　． 【变式训练7】如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A． 【变式训练8】在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的（如图）． （1）分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD； （2）连接CD，并量出CD的长度，取CD的中点E； （3）过O，E两点作射线．则OE就是∠AOB的平分线．请你说出小燕子这样作的理由． 二、 边边边判定三角形全等的实际应用 【例2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是　 　． 【变式训练1】雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AEAB，AFAC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由． 【变式训练2】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由． 【变式训练3】数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF． 求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD． 三、 边角边判定三角形全等的实际应用 【例3】如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为　　．